심화 문제 모음

실수의 부분집합에서 연산 결과 판정

부등식으로 주어진 실수의 세 부분집합에 대하여 포함 관계·교집합·차집합·여집합으로 나타낸 보기의 참·거짓을 수직선으로 판정하는 문제이다.

#실수의 부분집합 #부등식 #차집합과 여집합

A∪B=A∩C 일 때 옳은 성질 세기

A∪B=A∩C 라는 조건에서 B⊂A⊂C 를 끌어내고 네 성질 중 항상 옳은 것의 개수를 구하는 문제이다.

#포함 관계 #차집합 #집합의 연산 성질

계수가 연결된 이차방정식의 해집합 조건

두 계수가 하나의 상수로 묶인 이차방정식의 해집합이 세 원소 집합의 부분집합이 되는 상수를 모두 찾는다.

#집합 #포함 관계 #미정계수 #근과 계수의 관계

세 구간의 포함 관계와 정수의 개수

A ⊂ B ⊂ C 를 만족시키는 구간 B 의 위치를 부등식으로 정하고 정수 a 의 개수를 구한다.

#집합 #포함 관계 #미정계수 #부등식

해집합이 부분집합일 때 계수의 최댓값

이차방정식의 해집합이 주어진 두 원소 집합의 부분집합이 되는 경우를 나누어 계수의 합의 최댓값을 구한다.

#집합 #포함 관계 #미정계수 #이차방정식 #경우 나누기

f(X)=X 를 만족시키는 두 원소 집합

f(x)=x²−2 에 대하여 두 실수로 이루어진 집합 X가 f(X)=X 를 만족시키는 경우를 모두 찾아 a²+b²의 값의 합을 구하는 문제이다.

#서로 같은 집합 #함수와 집합 #연립방정식

이차부등식의 자연수해 집합이 주어진 집합과 같을 조건

x²−10x+k<0의 자연수해 전체의 집합이 {3, 4, 5, 6, 7}과 같아지는 자연수 k의 개수를 구하는 문제이다.

#서로 같은 집합 #이차부등식 #정수해

일차식으로 옮긴 집합이 원래 집합과 같을 조건

집합 {1, 2, 3}을 일차식 ax+b로 옮긴 집합이 원래 집합과 같아지는 a, b를 모두 찾아 b−a의 최댓값을 구하는 문제이다.

#서로 같은 집합 #일차식 #경우 나누기

짝으로 닫힌 부분집합의 개수

「x가 원소이면 9−x도 원소」라는 조건과 원소의 합 조건을 만족시키는 부분집합의 개수를 구하는 문제이다.

#부분집합 #조건을 만족시키는 부분집합 #경우 나누기

이동한 포물선이 한 점에서만 만날 조건

아래로 볼록한 포물선과 이를 x축 대칭 후 평행이동한 포물선이 한 점에서만 만나면 접함을 이용해 평행이동한 양을 거꾸로 구한다.

#도형의 이동 #대칭이동 #평행이동 #포물선 #그래프 해석

두 규칙을 번갈아 적용한 점의 위치

대칭이동과 평행이동을 번갈아 적용할 때 네 번마다 되풀이되는 규칙을 찾아 x좌표가 30인 점의 번호를 모두 구한다.

#도형의 이동 #대칭이동 #평행이동 #이동의 주기

이동 결과로 평행이동의 양을 거꾸로 구하기

네 번째 점의 좌표에서 평행이동의 양을 거꾸로 구한 뒤 규칙을 이용해 100번째 점을 구한다.

#도형의 이동 #대칭이동 #평행이동 #이동의 규칙

나눗셈에 닫힌 집합의 원소 개수

4와 32를 원소로 갖고 나눗셈에 닫혀 있는 가장 작은 양의 실수 집합에서 100 이하인 원소의 개수를 구한다.

#연산에 닫혀 있는 집합 #나눗셈 #거듭제곱 #최소 집합

덧셈에 닫힌 정수 집합의 원소 개수

−6과 10을 원소로 갖고 덧셈에 닫혀 있는 가장 작은 정수 집합에서 1 이상 20 이하인 원소의 개수를 구한다.

#연산에 닫혀 있는 집합 #덧셈 #짝수 #최소 집합

나머지 연산에 닫힌 부분집합의 개수

곱을 7로 나눈 나머지를 주는 연산에 대하여 닫혀 있는 {1, 2, …, 6}의 부분집합의 개수를 구한다.

#연산에 닫혀 있는 집합 #나머지 #부분집합의 개수

대칭점으로 이루어진 사각형의 넓이

한 쌍의 대칭점으로 대칭축을 정하고 다른 점의 대칭점을 구하여 네 점이 이루는 사각형의 넓이를 구한다.

#대칭이동 #직선에 대한 대칭 #수직이등분선 #사각형의 넓이

대칭인 두 원의 공통현의 길이

원을 직선에 대하여 대칭이동한 원과의 두 교점이 대칭축 위에 있음을 이용해 직선의 상수를 구한다.

#대칭이동 #직선에 대한 대칭 #원과 직선 #공통현

두 점에 대하여 대칭이동한 점들이 만드는 삼각형

한 점을 서로 다른 두 점에 대하여 각각 대칭이동한 두 점과 처음 점이 만드는 삼각형의 넓이를 구한다.

#대칭이동 #점에 대한 대칭 #삼각형의 넓이 #중점

대칭이동한 직선과 x축이 만드는 삼각형에서 기울기 찾기

직선과 그 직선을 직선 y=x 에 대하여 대칭이동한 직선, x축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이에서 기울기를 역추적한다.

#대칭이동 #직선 y=x 대칭 #삼각형의 넓이 #직선의 방정식

원점 대칭이동한 포물선과 처음 포물선의 두 교점

포물선과 그 포물선을 원점에 대하여 대칭이동한 포물선의 두 교점 사이의 거리에서 상수를 구한다.

#대칭이동 #원점 대칭 #포물선 #두 점 사이의 거리

대칭이동한 세 점으로 만든 삼각형 넓이의 최댓값

원 위의 점과 그 점을 x축, y축에 대하여 대칭이동한 두 점이 만드는 직각삼각형의 넓이의 최댓값을 구한다.

#대칭이동 #축 대칭 #원 #넓이의 최댓값

두 직선에 모두 접하는 평행이동한 포물선

평행이동한 포물선이 y축에 대하여 대칭인 두 직선에 모두 접하는 조건에서 이동량을 구한다.

#평행이동 #포물선의 평행이동 #접선 #판별식

원점을 지나는 평행이동한 원과 마름모의 넓이

원점을 지나는 원을 x축 방향으로 평행이동한 원도 원점을 지날 때 두 중심과 두 교점이 만드는 사각형의 넓이를 구한다.

#평행이동 #원의 평행이동 #두 원의 교점 #마름모

두 교점을 지나고 두 좌표축에 접하는 원

두 교점을 구하고 두 좌표축에 동시에 접하는 원의 중심을 (t, t)로 두어 두 원을 찾는다.

#두 원의 교점을 지나는 원 #좌표축에 접하는 원 #원의 넓이

정수 이동량으로 원 위에 옮긴 점의 곱의 최댓값

정수 이동량으로 평행이동한 점이 원 위에 있도록 하는 경우를 모두 찾아 이동량의 곱의 최댓값을 구한다.

#점의 평행이동 #원 위의 격자점 #최댓값

평행이동한 점과 이루는 삼각형의 넓이 조건

직선 위의 점을 평행이동한 점과 원점이 이루는 삼각형의 넓이 조건으로 원래 점의 좌표를 구한다.

#점의 평행이동 #삼각형의 넓이 #점과 직선 사이의 거리

두 원의 공통현의 길이 구하기

두 원의 방정식을 빼서 공통현이 놓인 직선을 얻고 중심과의 거리로 공통현의 길이를 구하는 과정의 빈칸을 채운다.

#두 원의 교점을 지나는 직선 #공통현 #증명 빈칸

원 위의 두 정점과 움직이는 점 판정

원 위의 두 정점과 원 위를 움직이는 점이 만드는 삼각형의 넓이와 거리의 제곱의 합을 판정한다.

#원 위의 점 #삼각형의 넓이 #참거짓

원 위의 점에 대한 식의 최댓값 판정

원 위를 움직이는 점에 대하여 원점까지의 거리·x+y의 최댓값·접선의 길이를 판정한다.

#원 위의 점의 최대·최소 #접선의 길이 #참거짓

공통현을 밑변으로 하는 삼각형의 넓이의 최댓값

공통현의 길이와 중심에서 현까지의 거리를 구하고 원 위의 점 중 현에서 가장 먼 점을 찾는다.

#공통현 #삼각형의 넓이 #최댓값

두 원에 그은 접선의 길이의 제곱의 합의 최솟값

두 접선의 길이의 제곱을 좌표로 나타내어 더한 뒤 완전제곱으로 최솟값을 구한다.

#접선의 길이 #이차식의 최솟값 #두 원

접선의 길이와 거리가 같은 점의 자취

접선의 길이와 정점까지의 거리가 같다는 조건을 식으로 만들어 직선을 얻고 원점까지의 거리를 구한다.

#접선의 길이 #자취 #점과 직선 사이의 거리

중심의 위치와 y축 조건으로 정수 찾기

원이 될 조건, 중심이 제4사분면에 있을 조건, y축과 만나지 않을 조건을 모두 만족시키는 정수를 찾는다.

#원이 될 조건 #사분면 #원과 y축

반지름이 주어진 외접원의 세 번째 점

두 점과 반지름이 정해진 원의 중심 두 경우를 나누어 세 번째 점의 좌표를 모두 구한다.

#세 점을 지나는 원 #반지름 조건 #경우 나누기

원 위의 두 점과 만드는 삼각형의 넓이 최대

원 위의 두 점을 잇는 선분이 지름임을 알아내고, 원 위의 점과 이루는 삼각형의 넓이의 최댓값을 구한다.

#원의 방정식 #지름 #삼각형의 넓이 #최댓값

정사각형과 만나는 직선의 조건 판정

정점을 지나는 직선이 정사각형과 만나는 기울기의 범위와 넓이를 이등분하는 조건을 판정한다.

#직선의 방정식 #정점 #넓이 이등분 #정사각형

세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건 판정

정점을 지나는 직선과 두 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우의 수, 이루는 삼각형의 넓이를 판정한다.

#직선의 방정식 #세 직선의 위치 관계 #정점 #삼각형의 넓이

무게중심과 한 변이 만드는 삼각형의 넓이

무게중심의 좌표를 구하고 한 변까지의 거리를 높이로 삼아 삼각형의 넓이를 구한다.

#점과 직선 사이의 거리 #삼각형의 넓이 #무게중심

대각선으로 나누어 사각형의 넓이 구하기

대각선을 공통 밑변으로 두고 나머지 두 꼭짓점에서 대각선까지의 거리로 사각형의 넓이를 구한다.

#점과 직선 사이의 거리 #사각형의 넓이 #대각선 #직선의 방정식

평행선 사이의 거리로 평행사변형의 넓이

마주 보는 두 변을 포함하는 평행선 사이의 거리를 높이로 삼아 평행사변형의 넓이를 구한다.

#평행한 두 직선 사이의 거리 #평행사변형의 넓이 #직선의 방정식

두 갈래 범위에서 정점의 y절편 찾기

k의 범위가 두 갈래임을 해석하여 정점이 선분의 아래에 있음을 알아내고 y절편을 구한다.

#정점을 지나는 직선 #선분과 만날 조건 #두 갈래 범위 #거꾸로 추론

정점을 지나며 넓이를 이등분하는 직선

정점이 빗변의 중점임을 알아내고 삼각형의 넓이를 이등분하는 직선에서 k를 거꾸로 구한다.

#정점을 지나는 직선 #항등식 #넓이 이등분 #중점

두 축에 대한 거리의 합의 최솟값으로 점 찾기

x축, y축 위의 점에 대한 AP+BP, AQ+BQ의 최솟값이 주어질 때 점 B의 좌표를 거꾸로 구한다.

#최솟값 #대칭점 #연립방정식 #거꾸로 추론

세 요금제 중 가장 유리한 요금제의 범위

세 요금제의 요금 그래프를 비교하여 요금제 B가 가장 유리한 통화 시간의 범위를 구한다.

#실생활 문제 #요금제 #세 직선의 비교

두 점까지의 거리의 합이 주어진 직선

두 점 A, B와 직선 3x+4y+k=0 사이의 거리의 합이 8이 되는 모든 k의 합을 구한다.

#점과 직선 사이의 거리 #절댓값 #경우 나누기

삼각형 넓이의 최솟값

직사각형의 이웃한 두 변 위를 같은 길이만큼 움직이는 두 점이 만드는 삼각형의 넓이의 최솟값을 구한다.

#넓이의 최솟값 #직사각형 #이차식 #좌표평면

강을 건너는 다리의 위치

두 마을을 곧게 잇는 도로가 강과 만나는 지점을 내분점으로 구하고 도로의 길이를 함께 구한다.

#실생활 #내분점 #두 점 사이의 거리 #다리

세 삼각형 넓이와 점의 좌표

삼각형 내부의 점이 만드는 세 삼각형의 넓이 조건에서 점의 좌표를 거꾸로 구한다.

#넓이의 비 #좌표평면 #삼각형 내부의 점

삼등분점 거리 증명과 활용

변의 삼등분점까지의 거리의 제곱의 합과 두 변의 길이의 관계를 좌표로 증명하는 빈칸을 채우고 값을 구한다.

#증명 빈칸 #삼등분점 #두 점 사이의 거리

내분점 거리 관계 증명과 활용

변을 내분하는 점까지의 거리와 두 변의 길이 사이의 관계를 좌표로 증명하는 빈칸을 채우고 활용한다.

#증명 빈칸 #내분점 #두 점 사이의 거리 #삼각형

교점의 x좌표가 일정한 두 직선과 삼각형 조건

계수를 서로 바꾼 두 직선의 교점이 항상 x=1 위에 있음을 이용하여 삼각형을 이루지 않는 순서쌍을 센다.

#세 직선 #삼각형을 이루지 않을 조건 #순서쌍의 개수 #교점

교점을 지나는 직선이 만드는 삼각형의 넓이의 최솟값

두 직선의 교점을 지나는 직선을 절편형으로 두고 산술평균과 기하평균의 관계로 삼각형 넓이의 최솟값을 구한다.

#두 직선의 위치 관계 #교점 #절편형 #산술평균과 기하평균

삼각형의 둘레와 넓이로 절편 찾기

두 절편이 만드는 직각삼각형의 둘레와 넓이 조건에서 절편의 제곱의 합을 구한다.

#직선의 방정식 #x절편 #y절편 #피타고라스 정리

x축에서 반사되는 빛의 경로와 기울기

x축에서 반사된 빛의 직선은 기울기의 부호만 바뀜을 이용하여 처음 직선의 기울기를 구한다.

#직선의 방정식 #한 점과 기울기 #반사 #대칭

삼등분점까지의 거리의 제곱의 합

밑변의 두 삼등분점이 서로 다른 선분의 중점임을 보고 중선정리를 두 번 써서 두 식을 더해 합을 구한다.

#중선정리 #삼등분점 #거리의 제곱의 합

이등분선과 무게중심이 만드는 넓이

각의 이등분선의 발과 변의 중점 사이의 길이, 무게중심의 2:1 성질로 작은 삼각형의 넓이 비를 구한다.

#각의 이등분선 정리 #무게중심 #넓이의 비

축 위의 두 꼭짓점 되찾기

한 꼭짓점과 무게중심으로 마주 보는 변의 중점을 구하고, 두 축 위의 꼭짓점을 되찾아 변의 길이를 구한다.

#무게중심 #중점 #두 점 사이의 거리

무게중심을 지나는 평행선과 넓이

무게중심을 지나 한 변에 평행한 직선이 삼각형을 닮음비 2:3으로 나눌 때 사각형 부분의 넓이를 구한다.

#무게중심 #닮음 #넓이의 비 #평행선

내분점으로 만든 삼각형의 무게중심

세 변을 같은 비로 내분한 점으로 만든 삼각형의 무게중심이 주어질 때, 원래 삼각형의 꼭짓점의 좌표를 거꾸로 구한다.

#무게중심 #무게중심의 좌표 #내분점