교점을 지나는 직선이 만드는 삼각형의 넓이의 최솟값

$2 x + y = 7$의 양변에 $2$를 곱한 식과 $x - 2 y = - 4$를 더하면 $5 x = 10$, $x = 2$, $y = 3$이므로 $\mathrm{P} \mathit{(} 2 , 3 )$ $x$절편을 $a$, $y$절편을 $b$ ($a > 0$, $b > 0$)라 하면 직선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$이고, 점 $\mathrm{P}$를 지나므로 $\displaystyle \frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$ $\displaystyle \frac{2}{a} > 0$, $\displaystyle \frac{3}{b} > 0$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서 $\displaystyle 1 = \frac{2}{a} + \frac{3}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{6}{ab}}$ $\displaystyle \sqrt{ab} \geq 2 \sqrt{6}$, 즉 $ab \geq 24$ 등호는 $\displaystyle \frac{2}{a} = \frac{3}{b} = \frac{1}{2}$, 즉 $a = 4$, $b = 6$일 때 성립한다. 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} ab \geq 12$ (검산: 직선 $\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$은 점 $\left( 2 , 3 \right)$을 지나고, 이때 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12$이다.) 따라서 넓이의 최솟값은 $12$