두 직선에 모두 접하는 평행이동한 포물선

$y = x ^{2} - 4 x + 7 = ( x - 2 ) ^{2} + 3$이므로 평행이동한 포물선의 방정식은 $y = ( x - 2 - a ) ^{2} + 3 + b$ $p = 2 + a$, $q = 3 + b$라 하면 $y = ( x - p ) ^{2} + q$이다. 이 포물선이 직선 $y = 2 x$에 접하므로 $( x - p ) ^{2} + q = 2 x$, 즉 $x ^{2} - ( 2 p + 2 ) x + p ^{2} + q = 0$의 판별식에서 $( p + 1 ) ^{2} - ( p ^{2} + q ) = 0$, 즉 $q = 2 p + 1$ 직선 $y = - 2 x$에 접하므로 $x ^{2} - ( 2 p - 2 ) x + p ^{2} + q = 0$의 판별식에서 $( p - 1 ) ^{2} - ( p ^{2} + q ) = 0$, 즉 $q = - 2 p + 1$ 두 식을 연립하면 $p = 0$, $q = 1$ (두 직선 $y = 2 x$, $y = - 2 x$가 $y$축에 대하여 대칭이므로 두 직선에 모두 접하는 포물선의 축은 $y$축이어야 한다. 이것이 $p = 0$이다.) 즉 평행이동한 포물선은 $y = x ^{2} + 1$이고 $2 + a = 0$, $3 + b = 1$에서 $a = - 2$, $b = - 2$ 따라서 $a + b = - 4$이므로 답은 ②이다.