두 원에 그은 접선의 길이의 제곱의 합의 최솟값

$\mathrm{P} ( x , y )$ 라 하자. 원 $C _{1}$ 의 중심은 $\mathrm{O} ( 0 , 0 )$, 반지름의 길이는 $1$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} = \overline{\mathrm{OP}} ^{2} - 1 = x ^{2} + y ^{2} - 1$ 원 $C _{2}$ 의 중심은 $( 6 , 0 )$, 반지름의 길이는 $2$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} ^{2} = ( x - 6 ) ^{2} + y ^{2} - 4$ 두 식을 더하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} + \overline{\mathrm{PB}} ^{2} = 2 x ^{2} - 12 x + 2 y ^{2} + 31$ $= 2 ( x - 3 ) ^{2} + 2 y ^{2} + 13$ $x = 3$, $y = 0$ 일 때 최솟값 $13$ 을 가진다. 이때 점 $( 3 , 0 )$ 은 두 원의 중심으로부터 각각 $3$ 만큼 떨어져 있어 두 원의 밖에 있다. 따라서 구하는 최솟값은 $13$ 이다.