공통수학2평면좌표AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각형 넓이의 최솟값

문제

그림과 같이 좌표평면 위의 네 점 O(0,0)\mathrm{O} ( 0 , 0 ), A(8,0)\mathrm{A} ( 8 , 0 ), B(8,6)\mathrm{B} ( 8 , 6 ), C(0,6)\mathrm{C} ( 0 , 6 )을 꼭짓점으로 하는 직사각형 OABC\mathrm{OABC}가 있다. 변 AB\mathrm{AB} 위의 점 P\mathrm{P}와 변 BC\mathrm{BC} 위의 점 Q\mathrm{Q}가 AP‾=BQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{BQ}}를 만족시키며 움직일 때, 삼각형 OPQ\mathrm{OPQ}의 넓이의 최솟값을 구하시오. (단, 점 P\mathrm{P}는 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}가 아니다.) [4점]

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해설

AP‾=BQ‾=t\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{BQ}} = t (0<t<60 < t < 6)라 하면 P(8,t)\mathrm{P} ( 8 , t ), Q(8−t,6)\mathrm{Q} ( 8 - t , 6 ) 삼각형 OPQ\mathrm{OPQ}의 넓이는 직사각형 OABC\mathrm{OABC}의 넓이에서 세 직각삼각형 OAP\mathrm{OAP}, PBQ\mathrm{PBQ}, QCO\mathrm{QCO}의 넓이를 뺀 것이다. 직사각형 OABC\mathrm{OABC}의 넓이는 8×6=488 \times 6 = 48 삼각형 OAP\mathrm{OAP}의 넓이는 12×8×t=4t\displaystyle \frac{1}{2} \times 8 \times t = 4 t 삼각형 PBQ\mathrm{PBQ}의 넓이는 12×t×(6−t)\displaystyle \frac{1}{2} \times t \times ( 6 - t ) 삼각형 QCO\mathrm{QCO}의 넓이는 12×(8−t)×6=24−3t\displaystyle \frac{1}{2} \times ( 8 - t ) \times 6 = 24 - 3 t 삼각형 OPQ\mathrm{OPQ}의 넓이 SS는 S=48−4t−12t(6−t)−(24−3t)\displaystyle S = 48 - 4 t - \frac{1}{2} t ( 6 - t ) - ( 24 - 3 t ) =12t2−4t+24\displaystyle = \frac{1}{2} t ^{2} - 4 t + 24 =12(t−4)2+16\displaystyle = \frac{1}{2} ( t - 4 ) ^{2} + 16 t=4t = 4는 0<t<60 < t < 6을 만족시키므로 SS의 최솟값은 1616이다. (검산: t=4t = 4일 때 P(8,4)\mathrm{P} ( 8 , 4 ), Q(4,6)\mathrm{Q} ( 4 , 6 )이고 48−16−4−12=1648 - 16 - 4 - 12 = 16이다.)

태그

#넓이의 최솟값#직사각형#이차식#좌표평면

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