공통수학2평면좌표AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

무게중심을 지나는 평행선과 넓이

문제

그림과 같이 넓이가 4545인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 무게중심 G\mathrm{G}를 지나고 변 BC\mathrm{BC}에 평행한 직선이 두 변 AB\mathrm{AB}, AC\mathrm{AC}와 만나는 점을 각각 D\mathrm{D}, E\mathrm{E}라 하자. 사각형 DBCE\mathrm{DBCE}의 넓이를 구하시오. (단, M\mathrm{M}은 변 BC\mathrm{BC}의 중점이다.) [4점]

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25

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해설

무게중심 G\mathrm{G}는 중선 AM\mathrm{AM}을 2:12 : 1로 내분하므로 AG‾:AM‾=2:3\displaystyle \overline{\mathrm{AG}} : \overline{\mathrm{AM}} = 2 : 3 DE‾//BC‾\displaystyle \overline{\mathrm{DE}} / / \overline{\mathrm{BC}}이므로 AD‾:AB‾=AE‾:AC‾=AG‾:AM‾=2:3\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} : \overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AE}} : \overline{\mathrm{AC}} = \overline{\mathrm{AG}} : \overline{\mathrm{AM}} = 2 : 3 두 삼각형 ADE\mathrm{ADE}, ABC\mathrm{ABC}는 닮음비가 2:32 : 3인 닮은 도형이므로 넓이의 비는 4:94 : 9 (삼각형 ADE\mathrm{ADE}의 넓이)=45×49=20\displaystyle = 45 \times \frac{4}{9} = 20 따라서 사각형 DBCE\mathrm{DBCE}의 넓이는 45−20=2545 - 20 = 25

태그

#무게중심#닮음#넓이의 비#평행선

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