공통수학2도형의 이동AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원점 대칭이동한 포물선과 처음 포물선의 두 교점

문제

포물선 y=x2−2x+ky = x ^{2} - 2 x + k를 원점에 대하여 대칭이동한 포물선이 처음 포물선과 서로 다른 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}에서 만난다. AB‾=45\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 4 \sqrt{5}일 때, 상수 kk의 값은? [4점] ①−5- 5②−4- 4③−3- 3④−2- 2⑤−1- 1

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②

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해설

포물선 y=x2−2x+ky = x ^{2} - 2 x + k를 원점에 대하여 대칭이동한 포물선의 방정식은 −y=(−x)2−2(−x)+k- y = ( - x ) ^{2} - 2 ( - x ) + k, 즉 y=−x2−2x−ky = - x ^{2} - 2 x - k 두 포물선의 교점의 xx좌표는 x2−2x+k=−x2−2x−kx ^{2} - 2 x + k = - x ^{2} - 2 x - k, 즉 x2=−kx ^{2} = - k의 근이므로 서로 다른 두 점에서 만나려면 k<0k < 0이어야 한다. x=−k\displaystyle x = \sqrt{- k}일 때 y=x2−2x+k=−k−2−k+k=−2−k\displaystyle y = x ^{2} - 2 x + k = - k - 2 \sqrt{- k} + k = - 2 \sqrt{- k} x=−−k\displaystyle x = - \sqrt{- k}일 때 y=−k+2−k+k=2−k\displaystyle y = - k + 2 \sqrt{- k} + k = 2 \sqrt{- k} 즉 두 교점은 A(−k,−2−k)\displaystyle \mathrm{A} ( \sqrt{- k} , - 2 \sqrt{- k} ), B(−−k,2−k)\displaystyle \mathrm{B} ( - \sqrt{- k} , 2 \sqrt{- k} )이고 두 점은 원점에 대하여 서로 대칭이다.

AB‾=2OA‾=2(−k)+4(−k)=2−5k\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2 \overline{\mathrm{OA}} = 2 \sqrt{( - k ) + 4 ( - k )} = 2 \sqrt{- 5 k} 2−5k=45\displaystyle 2 \sqrt{- 5 k} = 4 \sqrt{5}에서 −5k=20- 5 k = 20, k=−4k = - 4 따라서 답은 ②이다.

태그

#대칭이동#원점 대칭#포물선#두 점 사이의 거리

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