대칭점으로 이루어진 사각형의 넓이

직선 $l$은 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선이다. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점은 $( 0 , 2 )$이고 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{- 1 - 5}{- 1 - 1} = 3$이므로 $\displaystyle l : y = - \frac{1}{3} x + 2$ 점 $\mathrm{D}$의 좌표를 $( a , b )$라 하면 선분 $\mathrm{CD}$의 중점 $\displaystyle \left( \frac{7 + a}{2} , \frac{3 + b}{2} \right)$가 직선 $l$ 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{3 + b}{2} = - \frac{1}{3} \times \frac{7 + a}{2} + 2$ 즉 $a + 3 b = - 4 \cdots \text{①}$ 직선 $\mathrm{CD}$는 직선 $l$과 수직이므로 $\displaystyle \frac{b - 3}{a - 7} \times \left( - \frac{1}{3} \right) = - 1$ 즉 $3 a - b = 18 \cdots \text{ ②}$ ①, ②에서 $a = 5$, $b = - 3$이므로 $\mathrm{D} ( 5 , - 3 )$ 직선 $\mathrm{AC}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{3 - 5}{7 - 1} = - \frac{1}{3}$로 직선 $l$과 평행하다. 따라서 $\mathrm{AC}$를 대칭이동한 $\mathrm{BD}$도 $l$과 평행하고, $\mathrm{AB}$와 $\mathrm{CD}$는 $l$에 수직이므로 사각형 $\mathrm{ABDC}$는 직사각형이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{2 ^{2} + 6 ^{2}} = 2 \sqrt{10}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{6 ^{2} + 2 ^{2}} = 2 \sqrt{10}$ 따라서 사각형 $\mathrm{ABDC}$는 한 변의 길이가 $\displaystyle 2 \sqrt{10}$인 정사각형이고 그 넓이는 $\displaystyle ( 2 \sqrt{10} ) ^{2} = 40$