삼각형의 둘레와 넓이로 절편 찾기

$\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = a$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}} = b$이고 삼각형 $\mathrm{OAB}$는 직각삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{a ^{2} + b ^{2}}$ 넓이가 $6$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} ab = 6$, 즉 $ab = 12$ …… ㉠ 둘레의 길이가 $12$이므로 $\displaystyle a + b + \sqrt{a ^{2} + b ^{2}} = 12$ …… ㉡ $a + b = s$라 하면 $a ^{2} + b ^{2} = s ^{2} - 2 ab = s ^{2} - 24$이므로 ㉡은 $\displaystyle \sqrt{s ^{2} - 24} = 12 - s$ 양변을 제곱하면 $s ^{2} - 24 = 144 - 24 s + s ^{2}$ $24 s = 168$에서 $s = 7$ (이때 $12 - s = 5 > 0$) 따라서 $a ^{2} + b ^{2} = s ^{2} - 24 = 49 - 24 = 25$ (검산: $a$, $b$는 $t ^{2} - 7 t + 12 = 0$의 두 근 $3$, $4$이므로 세 변의 길이가 $3$, $4$, $5$인 직각삼각형이 되어 둘레 $12$, 넓이 $6$이다.) ③