삼등분점 거리 증명과 활용

다음은 「삼각형 $\mathrm{ABC}$의 변 $\mathrm{BC}$ 위의 두 점 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$가 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} = \overline{\mathrm{DE}} = \overline{\mathrm{EC}}$를 만족시키면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + \overline{\mathrm{AC}} ^{2} = \overline{\mathrm{AD}} ^{2} + \overline{\mathrm{AE}} ^{2} + 4 \overline{\mathrm{BD}} ^{2}$ 이다.」를 좌표를 이용하여 증명한 것이다.

변 $\mathrm{BC}$의 중점을 원점, 변 $\mathrm{BC}$가 $x$축 위에 오도록 좌표평면을 잡으면 양수 $t$에 대하여 $\mathrm{B} ( - 3 t , 0 )$, $\mathrm{D} ( - t , 0 )$, $\mathrm{E} ( t , 0 )$, $\mathrm{C} ( 3 t , 0 )$ 으로 놓을 수 있다. 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $( p , q )$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + \overline{\mathrm{AC}} ^{2} = ( p + 3 t ) ^{2} + q ^{2} + ( p - 3 t ) ^{2} + q ^{2} = 2 p ^{2} + 2 q ^{2} +$ (가) $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} ^{2} + \overline{\mathrm{AE}} ^{2} = ( p + t ) ^{2} + q ^{2} + ( p - t ) ^{2} + q ^{2} = 2 p ^{2} + 2 q ^{2} +$ (나) 두 식의 차는 $16 t ^{2}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} = 2 t$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + \overline{\mathrm{AC}} ^{2} = \overline{\mathrm{AD}} ^{2} + \overline{\mathrm{AE}} ^{2} + 4 \overline{\mathrm{BD}} ^{2}$ 이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 $f ( t )$라 하자. 또 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 7$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = 5$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 6$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 위의 성질을 이용하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} ^{2} + \overline{\mathrm{AE}} ^{2}$의 값을 구하면 $k$이다. $f ( 1 ) + k$의 값을 구하시오. [4점]