공통수학2직선의 방정식AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 갈래 범위에서 정점의 y절편 찾기

문제

그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 A(−1,6)\mathrm{A} \mathit{\left( - 1 , 6 \right)}, B(2,6)\mathrm{B} \mathit{\left( 2 , 6 \right)}이 있다. 직선 y=kx+ay = kx + a가 선분 AB\mathrm{AB}와 만나도록 하는 실수 kk의 값의 범위가 k≤−2k \leq - 2 또는 k≥1k \geq 1일 때, 상수 aa의 값을 구하시오. [4점]

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4

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해설

직선 y=kx+ay = kx + a는 kk의 값에 관계없이 점 P(0,a)\mathrm{P} \mathit{\left( 0 , a \right)}를 지난다. kk의 값의 범위가 두 갈래이므로 점 P\mathrm{P}는 선분 AB\mathrm{AB} 위에 있지 않다. 즉 a≠6a \ne 6 직선 PA\mathrm{PA}의 기울기는 6−a−1−0=a−6\displaystyle \frac{6 - a}{- 1 - 0} = a - 6 직선 PB\mathrm{PB}의 기울기는 6−a2−0=6−a2\displaystyle \frac{6 - a}{2 - 0} = \frac{6 - a}{2} a<6a < 6이면 a−6<0<6−a2\displaystyle a - 6 < 0 < \frac{6 - a}{2}이고, 선분 AB\mathrm{AB}가 yy축과 만나므로 직선이 선분 AB\mathrm{AB}와 만나는 것은 k≤a−6k \leq a - 6 또는 k≥6−a2\displaystyle k \geq \frac{6 - a}{2}일 때이다. 이것이 k≤−2k \leq - 2 또는 k≥1k \geq 1과 같으려면 a−6=−2a - 6 = - 2, 6−a2=1\displaystyle \frac{6 - a}{2} = 1 두 식을 모두 만족시키는 값은 a=4a = 4 a>6a > 6이면 6−a2<0<a−6\displaystyle \frac{6 - a}{2} < 0 < a - 6이고, 범위는 k≤6−a2\displaystyle k \leq \frac{6 - a}{2} 또는 k≥a−6k \geq a - 6이 되어 6−a2=−2\displaystyle \frac{6 - a}{2} = - 2, a−6=1a - 6 = 1을 동시에 만족시키는 aa는 없다. 따라서 a=4a = 4

태그

#정점을 지나는 직선#선분과 만날 조건#두 갈래 범위#거꾸로 추론

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