원 위의 두 정점과 움직이는 점 판정

ㄱ. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{( 3 + 5 ) ^{2} + 4 ^{2}} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}$ (참) ㄴ. 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{4 - 0}{3 + 5} = \frac{1}{2}$이므로 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $x - 2 y + 5 = 0$ 원의 중심 $\mathrm{O}$와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ 점 $\mathrm{P}$와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리의 최댓값은 $\displaystyle 5 + \sqrt{5}$이므로 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{5} \times ( 5 + \sqrt{5} ) = 10 \sqrt{5} + 10$ (거짓) ㄷ. $\mathrm{P} \mathit{(} x , y )$라 하면 $x ^{2} + y ^{2} = 25$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} + \overline{\mathrm{PB}} ^{2} = ( x - 3 ) ^{2} + ( y - 4 ) ^{2} + ( x + 5 ) ^{2} + y ^{2}$ $= 2 ( x ^{2} + y ^{2} ) + 4 x - 8 y + 50 = 100 + 4 x - 8 y$ $4 x - 8 y = k$라 하면 직선 $4 x - 8 y - k = 0$이 원과 만나야 하므로 $\displaystyle \frac{\left| k \right|}{\sqrt{16 + 64}} \leq 5$, $\displaystyle \left| k \right| \leq 20 \sqrt{5}$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} + \overline{\mathrm{PB}} ^{2}$의 최솟값은 $\displaystyle 100 - 20 \sqrt{5}$이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④