해집합이 부분집합일 때 계수의 최댓값

$x ^{2} - 5 x + 4 = 0$에서 $( x - 1 ) ( x - 4 ) = 0$이므로 $A = \left\{ 1 , 4 \right\}$ $B$는 공집합이 아닌 $A$의 부분집합이므로 $B = \left\{ 1 \right\}$ 또는 $B = \left\{ 4 \right\}$ 또는 $B = \left\{ 1 , 4 \right\}$ (ⅰ) $B = \left\{ 1 \right\}$이면 방정식 $x ^{2} + ax + b = 0$이 $x = 1$을 중근으로 가지므로 $x ^{2} + ax + b = ( x - 1 ) ^{2} = x ^{2} - 2 x + 1$, $a = - 2$, $b = 1$, $a + b = - 1$ (ⅱ) $B = \left\{ 4 \right\}$이면 $x ^{2} + ax + b = ( x - 4 ) ^{2} = x ^{2} - 8 x + 16$, $a = - 8$, $b = 16$, $a + b = 8$ (ⅲ) $B = \left\{ 1 , 4 \right\}$이면 $x ^{2} + ax + b = ( x - 1 ) ( x - 4 ) = x ^{2} - 5 x + 4$, $a = - 5$, $b = 4$, $a + b = - 1$ 따라서 $a + b$의 최댓값은 $8$ ④