미지수 세 개인 마름모의 꼭짓점

마름모는 평행사변형이므로 두 대각선 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{BD}$ 의 중점이 일치한다. $\displaystyle \frac{a + 7}{2} = \frac{3 - 1}{2}$ 에서 $a = - 5$ $\displaystyle \frac{1 + 5}{2} = \frac{b + c}{2}$ 에서 $b + c = 6$ ㉠ 마름모의 네 변의 길이는 모두 같으므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} = \overline{\mathrm{AD}} ^{2}$ $( 3 + 5 ) ^{2} + ( b - 1 ) ^{2} = ( - 1 + 5 ) ^{2} + ( c - 1 ) ^{2}$ $64 + b ^{2} - 2 b + 1 = 16 + c ^{2} - 2 c + 1$ $b ^{2} - c ^{2} - 2 b + 2 c + 48 = 0$ $( b - c ) ( b + c ) - 2 ( b - c ) + 48 = 0$ ㉠을 대입하면 $6 ( b - c ) - 2 ( b - c ) + 48 = 0$ 에서 $b - c = - 12$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $b = - 3$, $c = 9$ 따라서 $abc = ( - 5 ) \times ( - 3 ) \times 9 = 135$