공통수학2집합AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

나머지 연산에 닫힌 부분집합의 개수

문제

집합 A={1,2,3,4,5,6}A = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \right\}의 두 원소 aa, bb에 대하여 연산 a∙ba \bullet b를 a∙b=a \bullet b = (abab를 77로 나눈 나머지) 로 정의하자. 집합 AA의 공집합이 아닌 부분집합 중 연산 ∙\bullet에 대하여 닫혀 있는 것의 개수를 구하시오. [4점]

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해설

부분집합 BB가 연산 ∙\bullet에 대하여 닫혀 있으면 BB의 원소 bb에 대하여 b∙bb \bullet b, (b∙b)∙b( b \bullet b ) \bullet b, ⋯\cdots 도 모두 BB의 원소이다. 22에서 시작하면 2,4,12 , 4 , 1이 차례로 나오고, 44에서 시작하면 4,2,14 , 2 , 1이 나온다. 33에서 시작하면 3,2,6,4,5,13 , 2 , 6 , 4 , 5 , 1이 나오고, 55에서 시작하면 5,4,6,2,3,15 , 4 , 6 , 2 , 3 , 1이 나와 AA의 모든 원소가 나온다. 66에서 시작하면 6,16 , 1이 나온다. 따라서 BB가 33 또는 55를 원소로 가지면 B=AB = A이고, 22 또는 44를 원소로 가지면 {1,2,4}⊂B\left\{ 1 , 2 , 4 \right\} \subset B, 66을 원소로 가지면 1∈B1 \in B이다. {1}\left\{ 1 \right\}, {1,6}\left\{ 1 , 6 \right\}, {1,2,4}\left\{ 1 , 2 , 4 \right\}는 두 원소의 연산 결과가 모두 자기 원소이므로 닫혀 있다. {1,2,4,6}\left\{ 1 , 2 , 4 , 6 \right\}은 2∙6=52 \bullet 6 = 5가 원소가 아니므로 닫혀 있지 않다. AA는 두 원소의 곱이 77의 배수가 될 수 없으므로 닫혀 있다. 따라서 구하는 집합은 {1}\left\{ 1 \right\}, {1,6}\left\{ 1 , 6 \right\}, {1,2,4}\left\{ 1 , 2 , 4 \right\}, AA의 44개이다.

태그

#연산에 닫혀 있는 집합#나머지#부분집합의 개수

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