대칭인 두 원의 공통현의 길이

실마리: 두 교점이 대칭축 $l$ 위에 있음을 먼저 본다. 원 $C _{2}$의 중심 $\mathrm{O} _{2}$는 원 $C _{1}$의 중심 $\mathrm{O} ( 0 , 0 )$을 직선 $l$에 대하여 대칭이동한 점이므로 직선 $l$은 선분 $\mathrm{OO} _{2}$의 수직이등분선이다. 두 원의 반지름의 길이는 모두 $\displaystyle \sqrt{5}$이므로 교점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = \overline{\mathrm{O} _{2} \mathrm{P}} = \sqrt{5}$ 즉 $\mathrm{P}$는 두 중심에서 같은 거리에 있으므로 선분 $\mathrm{OO} _{2}$의 수직이등분선인 직선 $l$ 위에 있다. 점 $\mathrm{Q}$도 마찬가지이다. 따라서 선분 $\mathrm{PQ}$는 원 $C _{1}$이 직선 $l$에 의하여 잘린 현이다. 원 $C _{1}$의 중심 $\mathrm{O} ( 0 , 0 )$과 직선 $2 x - y + k = 0$ 사이의 거리를 $d$라 하면 $\displaystyle d = \frac{\left| k \right|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{k}{\sqrt{5}}$ 현의 길이가 $2$이므로 그 절반의 길이 $1$과 $d$, 반지름의 길이 $\displaystyle \sqrt{5}$에 대하여 $1 ^{2} + d ^{2} = 5$ $\displaystyle 1 + \frac{k ^{2}}{5} = 5$ 따라서 $k ^{2} = 20$ [다른 풀이] 원 $C _{2}$의 중심은 $\mathrm{O}$를 직선 $l$에 대하여 대칭이동한 점 $\displaystyle \left( - \frac{4 k}{5} , \frac{2 k}{5} \right)$이므로 두 중심 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{2 k}{\sqrt{5}}$이다. 반지름이 같은 두 원의 공통현은 두 중심을 잇는 선분을 수직이등분하므로 $\displaystyle 1 ^{2} + \left( \frac{k}{\sqrt{5}} \right) ^{2} = 5$에서 $k ^{2} = 20$