공통수학2직선의 방정식AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사각형과 만나는 직선의 조건 판정

문제

그림과 같이 네 점 $\mathrm{A} ( 1 , 1 )$ , $\mathrm{B} ( 3 , 1 )$ , $\mathrm{C} ( 3 , 3 )$ , $\mathrm{D} ( 1 , 3 )$ 을 꼭짓점으로 하는 정사각형 $\mathrm{ABCD}$ 와 실수 $m$ 에 대하여 직선 $l : y = mx + 1$ 이 있다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기> ㄱ. 직선 $l$ 은 $m$ 의 값에 관계없이 점 $( 1 , 0 )$ 을 지난다. ㄴ. 직선 $l$ 이 정사각형 $\mathrm{ABCD}$ 와 만나도록 하는 정수 $m$ 의 개수는 $3$ 이다. ㄷ. 직선 $l$ 이 정사각형 $\mathrm{ABCD}$ 의 넓이를 이등분하면 $\displaystyle m = \frac{1}{2}$ 이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

ㄱ. $y = mx + 1$ 에 $x = 0$ 을 대입하면 $m$ 의 값에 관계없이 $y = 1$ 이므로 직선 $l$ 은 항상 점 $( 0 , 1 )$ 을 지난다. $x = 1$ 을 대입하면 $y = m + 1$ 이므로 점 $( 1 , 0 )$ 은 $m = - 1$ 일 때만 지난다. (거짓) ㄴ. 직선 $l$ 은 점 $( 0 , 1 )$ 을 지나므로 $m < 0$ 이면 $x > 0$ 에서 $y < 1$ 이 되어 정사각형과 만나지 않는다. $m \geq 0$ 일 때 직선 $l$ 이 정사각형과 만나려면 $x = 1$ 에서의 $y$ 의 값 $m + 1$ 이 $3$ 이하이어야 하므로 $m \leq 2$ $m = 0$ 이면 변 $\mathrm{AB}$ 를 포함하는 직선이므로 만난다. 따라서 $0 \leq m \leq 2$ 이고 정수 $m$ 은 $0$ , $1$ , $2$ 의 $3$ 개이다. (참) ㄷ. 정사각형의 넓이를 이등분하는 직선은 두 대각선의 교점, 즉 정사각형의 중심 $( 2 , 2 )$ 를 지난다. $2 = 2 m + 1$ 에서 $\displaystyle m = \frac{1}{2}$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ④

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