공통수학2도형의 이동AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정수 이동량으로 원 위에 옮긴 점의 곱의 최댓값

문제

좌표평면 위의 점 $\mathrm{A} \mathit{(} - 4 , 1 )$ 을 $x$ 축의 방향으로 $a$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $b$ 만큼 평행이동한 점 $\mathrm{B}$ 가 원 $( x - 1 ) ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} = 5$ 위에 있다. $a$ , $b$ 가 정수일 때, $ab$ 의 최댓값을 구하시오. [4점]

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해설

점 $\mathrm{B}$ 의 좌표는 $( a - 4 , b + 1 )$ 이고 이 점이 원 위에 있으므로 $( a - 5 ) ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} = 5$ $a - 5$ , $b - 2$ 는 정수이고 제곱의 합이 $5$ 이므로 두 수의 제곱은 $1$ 과 $4$ 중 하나씩이다. $( a - 5 , b - 2 )$ 는 $( \pm 1 , \pm 2 )$ 또는 $( \pm 2 , \pm 1 )$ (복호 임의)의 $8$ 가지이므로 $( a , b )$ 는 $( 6 , 4 )$ , $( 6 , 0 )$ , $( 4 , 4 )$ , $( 4 , 0 )$ , $( 7 , 3 )$ , $( 7 , 1 )$ , $( 3 , 3 )$ , $( 3 , 1 )$ $ab$ 의 값은 차례로 $24$ , $0$ , $16$ , $0$ , $21$ , $7$ , $9$ , $3$ 따라서 $ab$ 의 최댓값은 $24$

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