내분점으로 만든 삼각형의 무게중심

점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 $2 : 1$로 내분하는 점이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{2 \times 7 + 1 \times 1}{2 + 1} , \frac{2 \times 5 + 1 \times 2}{2 + 1} \right)$, 즉 $\mathrm{P} ( 5 , 4 )$ 같은 방법으로 $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{2 a + 7}{3} , \frac{2 b + 5}{3} \right)$, $\displaystyle \mathrm{R} \left( \frac{2 + a}{3} , \frac{4 + b}{3} \right)$ 세 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$의 $x$좌표의 합은 $\displaystyle 5 + \frac{2 a + 7}{3} + \frac{2 + a}{3} = 5 + ( a + 3 ) = a + 8$ $y$좌표의 합은 $\displaystyle 4 + \frac{2 b + 5}{3} + \frac{4 + b}{3} = 4 + ( b + 3 ) = b + 7$ 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 무게중심의 좌표가 $( 4 , 5 )$이므로 $\displaystyle \frac{a + 8}{3} = 4$, $\displaystyle \frac{b + 7}{3} = 5$ $a = 4$, $b = 8$ 따라서 $a + b = 12$ (참고) 세 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$의 좌표의 합은 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$의 좌표의 합과 같으므로 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 무게중심은 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심과 일치한다. 따라서 $\displaystyle \left( \frac{1 + 7 + a}{3} , \frac{2 + 5 + b}{3} \right) = ( 4 , 5 )$에서 바로 $a = 4$, $b = 8$을 얻는다. ③