공통현을 밑변으로 하는 삼각형의 넓이의 최댓값

두 원의 방정식을 변끼리 빼면 $( x ^{2} + y ^{2} - 25 ) - ( x ^{2} + y ^{2} - 6 x + 8 y + 5 ) = 0$ $6 x - 8 y - 30 = 0$, 즉 $3 x - 4 y - 15 = 0$ 이 직선이 직선 $\mathrm{AB}$ 이다. 원 $C _{1}$ 의 중심 $\mathrm{O} ( 0 , 0 )$ 에서 직선 $\mathrm{AB}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}} = \frac{\left| - 15 \right|}{\sqrt{3 ^{2} + ( - 4 ) ^{2}}} = 3$ 원 $C _{1}$ 의 반지름의 길이가 $5$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2 \sqrt{25 - 9} = 8$ 삼각형 $\mathrm{PAB}$ 의 넓이가 최대이려면 점 $\mathrm{P}$ 와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리가 최대이어야 한다. 원 $C _{1}$ 위의 점과 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리의 최댓값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}}$ 와 반지름의 길이의 합이므로 $3 + 5 = 8$ 따라서 삼각형 $\mathrm{PAB}$ 의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32$