대칭이동한 세 점으로 만든 삼각형 넓이의 최댓값

점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( a , b ) ( a > 0 , b > 0 )$라 하면 $a ^{2} + b ^{2} = 25$이고 $\mathrm{Q} ( a , - b )$, $\mathrm{R} ( - a , b )$ 선분 $\mathrm{PQ}$는 $y$축에 평행하고 선분 $\mathrm{PR}$는 $x$축에 평행하므로 삼각형 $\mathrm{PQR}$는 각 $\mathrm{P}$가 직각인 직각삼각형이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = 2 b$, $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}} = 2 a$ 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 a \times 2 b = 2 ab$ $a > 0$, $b > 0$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서 $a ^{2} + b ^{2} \geq 2 ab$, 즉 $2 ab \leq 25$ 등호는 $a = b$, 즉 $\displaystyle a = b = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$일 때 성립한다. 따라서 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이의 최댓값은 $25$이다.