정점을 지나며 넓이를 이등분하는 직선

주어진 식이 $k$에 대한 항등식이므로 $x - y - 1 = 0$, $x + y - 5 = 0$에서 $\mathrm{P} \mathit{\left( 3 , 2 \right)}$ 선분 $\mathrm{AB}$의 중점은 $\displaystyle \left( \frac{6 + 0}{2} , \frac{0 + 4}{2} \right) = \left( 3 , 2 \right)$이므로 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이다. 직선 $l$이 변 $\mathrm{OA}$와 점 $\mathrm{Q} \mathit{\left( t , 0 \right)}$ $( 0 \leq t < 6 )$에서 만난다고 하면 삼각형 $\mathrm{PQA}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( 6 - t \right) \times 2 = 6 - t$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$이므로 이등분하려면 $6 - t = 6$, 즉 $t = 0$ 직선 $l$이 변 $\mathrm{OB}$와 만나는 경우도 같은 방법으로 원점을 지나야 한다. 즉 직선 $l$은 두 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{P}$를 지나는 직선 $\displaystyle y = \frac{2}{3} x$이다. 주어진 식에 $x = 0$, $y = 0$을 대입하면 $- 1 - 5 k = 0$ 따라서 $\displaystyle k = - \frac{1}{5}$ ③