공통수학2집합AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

덧셈에 닫힌 정수 집합의 원소 개수

문제

정수를 원소로 하는 집합 AA가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) −6∈A- 6 \in A, 10∈A10 \in A (나) x∈Ax \in A, y∈Ay \in A이면 x+y∈Ax + y \in A이다. (다) 조건 (가), (나)를 모두 만족시키는 AA의 진부분집합은 없다.

집합 AA의 원소 중 11 이상 2020 이하인 것의 개수를 구하시오. [4점]

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10

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해설

조건 (나)에서 10+(−6)=4∈A10 + ( - 6 ) = 4 \in A, 4+(−6)=−2∈A4 + ( - 6 ) = - 2 \in A, 4+(−2)=2∈A4 + ( - 2 ) = 2 \in A이다. 2+2=42 + 2 = 4, 4+2=64 + 2 = 6, ⋯\cdots 이므로 모든 양의 짝수가 AA의 원소이고, (−2)+(−2)=−4( - 2 ) + ( - 2 ) = - 4, (−4)+(−2)=−6( - 4 ) + ( - 2 ) = - 6, ⋯\cdots 이므로 모든 음의 짝수도 AA의 원소이며, 2+(−2)=0∈A2 + ( - 2 ) = 0 \in A이다. 즉 짝수인 정수 전체의 집합을 EE라 하면 E⊂AE \subset A이다. 한편 EE는 −6- 6, 1010을 원소로 갖고 두 짝수의 합은 짝수이므로 조건 (가), (나)를 모두 만족시킨다. 조건 (다)에 의하여 EE는 AA의 진부분집합이 아니므로 A=EA = E이다. 따라서 AA의 원소 중 11 이상 2020 이하인 것은 2,4,6,⋯ ,202 , 4 , 6 , \cdots , 20의 1010개이다.

태그

#연산에 닫혀 있는 집합#덧셈#짝수#최소 집합

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