나눗셈에 닫힌 집합의 원소 개수

조건 (나)에서 $\displaystyle \frac{32}{4} = 8 \in A$, $\displaystyle \frac{8}{4} = 2 \in A$, $\displaystyle \frac{4}{4} = 1 \in A$이다. $\displaystyle \frac{1}{2} \in A$이고 $\displaystyle 2 \div \frac{1}{2} = 4$, $\displaystyle 4 \div \frac{1}{2} = 8$, $\displaystyle 8 \div \frac{1}{2} = 16$, $\cdots$ 이므로 $2 ^{n}$ ($n$은 자연수)은 모두 $A$의 원소이다. 또 $\displaystyle \frac{1}{2 ^{n}} \in A$이므로 $2 ^{n}$ ($n$은 정수) 꼴의 수는 모두 $A$의 원소이다. 이 수 전체의 집합을 $P$라 하면 $P \subset A$이다. 한편 $P$는 $4$, $32$를 원소로 갖고 $\displaystyle \frac{2 ^{m}}{2 ^{n}} = 2 ^{m - n}$이므로 조건 (가), (나)를 모두 만족시킨다. 조건 (다)에 의하여 $A = P$이다. 따라서 $A$의 원소 중 $1$ 이상 $100$ 이하인 것은 $1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64$의 $7$개이다.