무게중심과 한 변이 만드는 삼각형의 넓이

무게중심 $\mathrm{G}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{1 - 2 + 7}{3} , \frac{6 + 0 + 3}{3} \right) = ( 2 , 3 )$ 직선 $\mathrm{BC}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{3 - 0}{7 - ( - 2 )} = \frac{1}{3}$이므로 그 방정식은 $\displaystyle y = \frac{1}{3} ( x + 2 )$, 즉 $x - 3 y + 2 = 0$ 점 $\mathrm{G} \mathit{(} 2 , 3 )$과 직선 $x - 3 y + 2 = 0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{| 2 - 9 + 2 |}{\sqrt{1 ^{2} + ( - 3 ) ^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{10}}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{( 7 + 2 ) ^{2} + ( 3 - 0 ) ^{2}} = \sqrt{90} = 3 \sqrt{10}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{GBC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 3 \sqrt{10} \times \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{15}{2}$ 검산: 점 $\mathrm{A}$와 직선 $\mathrm{BC}$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{| 1 - 18 + 2 |}{\sqrt{10}} = \frac{15}{\sqrt{10}}$으로 점 $\mathrm{G}$까지의 거리의 $3$배이므로, 삼각형 $\mathrm{GBC}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $\displaystyle \frac{45}{2}$의 $\displaystyle \frac{1}{3}$인 $\displaystyle \frac{15}{2}$이다.