교점의 x좌표가 일정한 두 직선과 삼각형 조건

$a \ne b$이므로 두 직선 $y = ax + b$, $y = bx + a$는 평행하지 않고, $ax + b = bx + a$에서 $\left( a - b \right) x = a - b$, $x = 1$이므로 두 직선은 점 $\left( 1 , a + b \right)$에서 만난다. (ⅰ) 세 직선이 한 점에서 만날 때 점 $\left( 1 , a + b \right)$가 직선 $y = 2 x + 3$ 위에 있으므로 $a + b = 5$ $\left( a , b \right) = \left( 1 , 4 \right) , \left( 2 , 3 \right) , \left( 3 , 2 \right) , \left( 4 , 1 \right)$: $4$개 (ⅱ) 직선 $y = ax + b$가 직선 $y = 2 x + 3$과 평행하거나 일치할 때 $a = 2$이고 $b \ne 2$이므로 $b = 1 , 3 , 4 , 5 , 6$: $5$개. 이 중 $\left( 2 , 3 \right)$은 (ⅰ)에서 이미 세었다. (이때 두 직선은 일치한다.) (ⅲ) 직선 $y = bx + a$가 직선 $y = 2 x + 3$과 평행하거나 일치할 때 $b = 2$이고 $a \ne 2$이므로 $a = 1 , 3 , 4 , 5 , 6$: $5$개. 이 중 $\left( 3 , 2 \right)$는 (ⅰ)에서 이미 세었다. 따라서 순서쌍의 개수는 $4 + \left( 5 - 1 \right) + \left( 5 - 1 \right) = 12$