원점을 지나는 평행이동한 원과 마름모의 넓이

원 $\mathrm{C}$를 $x$축의 방향으로 $a$만큼 평행이동한 원 $\mathrm{C}'$의 방정식은 $( x - a - 4 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} = 20$ 이 원이 원점을 지나므로 $( a + 4 ) ^{2} + 4 = 20$, $( a + 4 ) ^{2} = 16$ $a \ne 0$이므로 $a + 4 = - 4$, 즉 $a = - 8$ 따라서 $\mathrm{C}' : ( x + 4 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} = 20$이고 두 중심은 $\mathrm{A} ( 4 , 2 )$, $\mathrm{B} ( - 4 , 2 )$이다. 두 원의 방정식을 변끼리 빼면 $( x - 4 ) ^{2} - ( x + 4 ) ^{2} = 0$, $- 16 x = 0$, 즉 $x = 0$ 이므로 두 교점은 모두 $y$축 위에 있다. $x = 0$을 원 $\mathrm{C}$의 방정식에 대입하면 $16 + ( y - 2 ) ^{2} = 20$, $( y - 2 ) ^{2} = 4$에서 $y = 0$ 또는 $y = 4$ 따라서 $\mathrm{D} ( 0 , 4 )$이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} = \overline{\mathrm{DB}} = \overline{\mathrm{BO}} = \overline{\mathrm{OA}} = \sqrt{20}$이므로 사각형 $\mathrm{ADBO}$는 마름모이고, 두 대각선의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 8$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}} = 4$이다. 따라서 사각형 $\mathrm{ADBO}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16$