원 위의 두 점과 만드는 삼각형의 넓이 최대

$x ^{2} + y ^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0$에서 $( x - 1 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} = 25$ 이므로 중심은 $\mathrm{C} ( 1 , 2 )$, 반지름의 길이는 $5$이다. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점은 $\displaystyle \left( \frac{4 - 2}{2} , \frac{6 - 2}{2} \right) = ( 1 , 2 )$로 원의 중심과 일치하므로 선분 $\mathrm{AB}$는 이 원의 지름이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2 \times 5 = 10$ 삼각형 $\mathrm{PAB}$에서 밑변을 $\mathrm{AB}$로 보면 높이는 점 $\mathrm{P}$와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리이고, 직선 $\mathrm{AB}$가 중심을 지나므로 이 거리는 반지름의 길이 $5$를 넘을 수 없다. 높이가 $5$가 되는 것은 점 $\mathrm{P}$가 중심에서 직선 $\mathrm{AB}$에 수직인 지름의 양 끝에 있을 때이다. 따라서 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25$ (검산) $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{6 ^{2} + 8 ^{2}} = 10$으로 지름의 길이와 같다.