원 위의 점에 대한 식의 최댓값 판정

원 $C$의 중심은 $\mathrm{C} \mathit{(} 3 , 4 )$, 반지름의 길이는 $2$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}} = \sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 5$ ㄱ. $\displaystyle x ^{2} + y ^{2} = \overline{\mathrm{OP}} ^{2}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$의 최댓값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}} + 2 = 7$이므로 $x ^{2} + y ^{2}$의 최댓값은 $49$이다. (참) ㄴ. $x + y = k$라 하면 직선 $x + y - k = 0$이 원 $C$와 만나야 하므로 $\displaystyle \frac{\left| 3 + 4 - k \right|}{\sqrt{2}} \leq 2$, $\displaystyle \left| 7 - k \right| \leq 2 \sqrt{2}$ 따라서 $\displaystyle 7 - 2 \sqrt{2} \leq k \leq 7 + 2 \sqrt{2}$이고 최댓값은 $\displaystyle 7 + 2 \sqrt{2}$이다. (참) ㄷ. 직선 $\mathrm{OP}$가 원에 접하면 $\mathrm{\angle} OPC = 90 ^\circ$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} ^{2} = \overline{\mathrm{OC}} ^{2} - \overline{\mathrm{CP}} ^{2} = 25 - 4 = 21$, 곧 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = \sqrt{21}$ 삼각형 $\mathrm{OPC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \sqrt{21} \times 2 = \sqrt{21}$이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤