삼등분점까지의 거리의 제곱의 합

$\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} = \overline{\mathrm{DE}} = \overline{\mathrm{EC}} = 3$이므로 점 $\mathrm{D}$는 선분 $\mathrm{BE}$의 중점, 점 $\mathrm{E}$는 선분 $\mathrm{DC}$의 중점이다. 삼각형 $\mathrm{ABE}$에서 중선정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + \overline{\mathrm{AE}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{AD}} ^{2} + 2 \overline{\mathrm{BD}} ^{2}$, 즉 $\displaystyle 64 + \overline{\mathrm{AE}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{AD}} ^{2} + 18$ 삼각형 $\mathrm{ADC}$에서 중선정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} ^{2} + \overline{\mathrm{AC}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{AE}} ^{2} + 2 \overline{\mathrm{DE}} ^{2}$, 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} ^{2} + 36 = 2 \overline{\mathrm{AE}} ^{2} + 18$ 두 식을 변끼리 더하면 $\displaystyle 100 + \overline{\mathrm{AD}} ^{2} + \overline{\mathrm{AE}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{AD}} ^{2} + 2 \overline{\mathrm{AE}} ^{2} + 36$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} ^{2} + \overline{\mathrm{AE}} ^{2} = 64$ (검산: 두 식을 각각 풀면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} ^{2} = \frac{110}{3}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}} ^{2} = \frac{82}{3}$이고 그 합은 $64$이다.) 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} ^{2} + \overline{\mathrm{AE}} ^{2} = 64$