이등분선과 무게중심이 만드는 넓이

각의 이등분선 정리에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{DC}} = \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AC}} = 9 : 6 = 3 : 2$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} = 10 \times \frac{3}{5} = 6$ 점 $\mathrm{M}$은 변 $\mathrm{BC}$의 중점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BM}} = \mathit{5}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{MD}} = 6 - 5 = 1$ 두 삼각형 $\mathrm{AMD}$, $\mathrm{ABC}$는 높이가 같으므로 (삼각형 $\mathrm{AMD}$의 넓이)$\displaystyle = \frac{\overline{\mathrm{MD}}}{\overline{\mathrm{BC}}} \times$(삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이)$\displaystyle = \frac{1}{10} \times$(삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이) 무게중심 $\mathrm{G}$는 중선 $\mathrm{AM}$을 $2 : 1$로 내분하므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AG}} : \overline{\mathrm{AM}} = 2 : 3$ 두 삼각형 $\mathrm{AGD}$, $\mathrm{AMD}$는 꼭짓점 $\mathrm{D}$에서 직선 $\mathrm{AM}$에 내린 높이가 같으므로 (삼각형 $\mathrm{AGD}$의 넓이)$\displaystyle = \frac{2}{3} \times$(삼각형 $\mathrm{AMD}$의 넓이)$\displaystyle = \frac{2}{3} \times \frac{1}{10} \times$(삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이)$\displaystyle = \frac{1}{15} \times$(삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이) 따라서 $k = 15$