내분점 거리 관계 증명과 활용

다음은 「삼각형 $\mathrm{ABC}$의 변 $\mathrm{BC}$를 $m : n$으로 내분하는 점을 $\mathrm{D}$라 하면 $\displaystyle n \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + m \overline{\mathrm{AC}} ^{2} = ( m + n ) \overline{\mathrm{AD}} ^{2} + ( m + n ) \overline{\mathrm{BD}} \times \overline{\mathrm{DC}}$ 이다.」를 좌표를 이용하여 증명한 것이다.

그림과 같이 점 $\mathrm{D}$를 원점, 변 $\mathrm{BC}$가 $x$축 위에 오도록 좌표평면을 잡으면 양수 $t$에 대하여 $\mathrm{B} ( - mt , 0 )$, $\mathrm{C} ( nt , 0 )$으로 놓을 수 있다. 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $( p , q )$라 하면

$\displaystyle n \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + m \overline{\mathrm{AC}} ^{2} = n \left\{ ( p + mt ) ^{2} + q ^{2} \right\} + m \left\{ ( p - nt ) ^{2} + q ^{2} \right\}$ $= ( m + n ) ( p ^{2} + q ^{2} ) +$ (가) 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} ^{2} = p ^{2} + q ^{2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} \times \overline{\mathrm{DC}} =$ (나) 이므로 $\displaystyle n \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + m \overline{\mathrm{AC}} ^{2} = ( m + n ) \overline{\mathrm{AD}} ^{2} + ( m + n ) \overline{\mathrm{BD}} \times \overline{\mathrm{DC}}$ 이다.

위의 (나)에 알맞은 식에 $m = 1$, $n = 2$, $t = 2$를 대입한 값을 $k$라 하자. 또 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 5$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = 7$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 6$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 변 $\mathrm{BC}$를 $1 : 2$로 내분하는 점을 $\mathrm{D}$라 할 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} = d$라 하자. $k + d$의 값을 구하시오. [4점]