두 점까지의 거리의 합이 주어진 직선

점 $\mathrm{A} ( 1 , 1 )$과 직선 $l$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| 3 + 4 + k \right|}{5} = \frac{\left| k + 7 \right|}{5}$ 점 $\mathrm{B} ( 5 , 4 )$와 직선 $l$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| 15 + 16 + k \right|}{5} = \frac{\left| k + 31 \right|}{5}$ 두 거리의 합이 $8$이므로 $\left| k + 7 \right| + \left| k + 31 \right| = 40$ (i) $k \geq - 7$일 때, $( k + 7 ) + ( k + 31 ) = 40$에서 $2 k = 2$, $k = 1$ (ii) $- 31 \leq k \leftarrow 7$일 때, $- ( k + 7 ) + ( k + 31 ) = 24$이므로 $40$이 될 수 없다. 이때 직선 $l$은 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 사이를 지나고, 거리의 합은 $k$의 값에 관계없이 $\displaystyle \frac{24}{5}$로 일정하다. (iii) $k \leftarrow 31$일 때, $- ( k + 7 ) - ( k + 31 ) = 40$에서 $- 2 k = 78$, $k = - 39$ 따라서 모든 실수 $k$의 값의 합은 $1 + ( - 39 ) = - 38$이다. ②