대칭이동한 직선과 x축이 만드는 삼각형에서 기울기 찾기

직선 $l : y = ax - 6$을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 직선은 $x = ay - 6$, 즉 $\displaystyle l' : y = \frac{1}{a} x + \frac{6}{a}$ 직선 $l$의 $x$절편은 $\displaystyle \frac{6}{a}$, 직선 $l'$의 $x$절편은 $- 6$이다. 두 직선 $l$, $l'$은 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이므로 두 직선의 교점은 직선 $y = x$ 위에 있다. $y = ax - 6$에 $y = x$를 대입하면 $x = ax - 6$, $\displaystyle x = \frac{6}{a - 1}$ 이므로 교점은 $\displaystyle \left( \frac{6}{a - 1} , \frac{6}{a - 1} \right)$이다. $a > 1$이므로 삼각형의 밑변의 길이는 $\displaystyle \frac{6}{a} + 6 = \frac{6 ( a + 1 )}{a}$, 높이는 $\displaystyle \frac{6}{a - 1}$이고 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{6 ( a + 1 )}{a} \times \frac{6}{a - 1} = \frac{18 ( a + 1 )}{a ( a - 1 )} = 27$ $2 ( a + 1 ) = 3 a ( a - 1 )$, $3 a ^{2} - 5 a - 2 = 0$, $( 3 a + 1 ) ( a - 2 ) = 0$ $a > 1$이므로 $a = 2$ (확인) $a = 2$이면 세 꼭짓점이 $( 3 , 0 )$, $( - 6 , 0 )$, $( 6 , 6 )$이고 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27$이다.