짝으로 닫힌 부분집합의 개수

집합 $A$의 원소를 합이 $9$가 되는 짝으로 묶으면 $\left\{ 1 , 8 \right\}$, $\left\{ 2 , 7 \right\}$, $\left\{ 3 , 6 \right\}$, $\left\{ 4 , 5 \right\}$ 조건 (가)에서 $x \in X$이면 $9 - x \in X$이므로, $X$가 어떤 짝의 한 원소를 가지면 그 짝의 다른 원소도 가진다. 즉 $X$는 위의 네 짝 중 몇 개를 골라 합친 집합이다. 각 짝의 두 원소의 합은 $9$이므로 짝 $k$개를 고른 집합 $X$의 모든 원소의 합은 $9 k$이다. 조건 (나)에서 $9 k \geq 18$이므로 $k \geq 2$ $k = 2$일 때: 네 짝 중 두 짝을 고르는 경우로 $\left\{ 1 , 8 , 2 , 7 \right\}$, $\left\{ 1 , 8 , 3 , 6 \right\}$, $\left\{ 1 , 8 , 4 , 5 \right\}$, $\left\{ 2 , 7 , 3 , 6 \right\}$, $\left\{ 2 , 7 , 4 , 5 \right\}$, $\left\{ 3 , 6 , 4 , 5 \right\}$의 $6$개 $k = 3$일 때: 네 짝 중 빼는 한 짝을 고르는 경우로 $4$개 $k = 4$일 때: $X = A$의 $1$개 따라서 구하는 집합 $X$의 개수는 $6 + 4 + 1 = 11$이다.