f(X)=X 를 만족시키는 두 원소 집합

$f ( X ) = X$이고 $n ( X ) = 2$이므로 $f ( a ) \ne f ( b )$이고, 다음 두 경우 중 하나이다. (i) $f ( a ) = a$, $f ( b ) = b$인 경우 $a$, $b$는 방정식 $x ^{2} - 2 = x$, 즉 $x ^{2} - x - 2 = 0$의 서로 다른 두 근이다. $( x + 1 ) ( x - 2 ) = 0$에서 $a = - 1$, $b = 2$이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 1 + 4 = 5$ (ii) $f ( a ) = b$, $f ( b ) = a$인 경우 $a ^{2} - 2 = b$, $b ^{2} - 2 = a$ 두 식을 변끼리 빼면 $a ^{2} - b ^{2} = b - a$, 즉 $( a - b ) ( a + b ) = - ( a - b )$ $a \ne b$이므로 $a + b = - 1$ 두 식을 변끼리 더하면 $a ^{2} + b ^{2} - 4 = a + b = - 1$이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 3$ 이때 $\displaystyle ab = \frac{( a + b ) ^{2} - ( a ^{2} + b ^{2} )}{2} = \frac{1 - 3}{2} = - 1$이므로 $a$, $b$는 $t ^{2} + t - 1 = 0$의 두 근이고, 이 방정식은 서로 다른 두 실근을 가지므로 조건을 만족시키는 실수 $a$, $b$가 실제로 존재한다. 따라서 가능한 $a ^{2} + b ^{2}$의 값은 $5$, $3$이고 그 합은 $8$이다. ④