이차부등식의 자연수해 집합이 주어진 집합과 같을 조건

$f ( x ) = x ^{2} - 10 x + k$라 하면 $f ( x ) = ( x - 5 ) ^{2} + k - 25$이므로 $y = f ( x )$의 그래프는 직선 $x = 5$에 대하여 대칭이고, $x = 5$에서 멀어질수록 $f ( x )$의 값이 커진다. 따라서 $f ( 3 ) = f ( 7 )$, $f ( 2 ) = f ( 8 )$이고 $f ( 5 ) \leq f ( 4 ) = f ( 6 ) \leq f ( 3 ) = f ( 7 ) \leq f ( 2 ) = f ( 8 ) \leq f ( 1 ) = f ( 9 ) \leq \cdots$ $A = B$이려면 자연수 $x$ 중 $f ( x ) < 0$인 것이 $3$, $4$, $5$, $6$, $7$뿐이어야 하므로 $f ( 3 ) < 0$이고 $f ( 2 ) \geq 0$ $f ( 3 ) = 9 - 30 + k = k - 21 < 0$에서 $k < 21$ $f ( 2 ) = 4 - 20 + k = k - 16 \geq 0$에서 $k \geq 16$ 그러므로 $16 \leq k < 21$이고 이를 만족시키는 자연수 $k$는 $16$, $17$, $18$, $19$, $20$이다. 따라서 구하는 $k$의 개수는 $5$이다.