두 점에 대하여 대칭이동한 점들이 만드는 삼각형

점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이므로 $\mathrm{B} ( 2 \times 1 - 4 , 2 \times 2 - 1 )$, 즉 $\mathrm{B} ( - 2 , 3 )$ 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{AC}$의 중점이므로 $\mathrm{C} ( 2 \times 3 - 4 , 2 \times 4 - 1 )$, 즉 $\mathrm{C} ( 2 , 7 )$ 세 점 $\mathrm{A} ( 4 , 1 )$, $\mathrm{B} ( - 2 , 3 )$, $\mathrm{C} ( 2 , 7 )$으로 만든 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \left| 4 ( 3 - 7 ) + ( - 2 ) ( 7 - 1 ) + 2 ( 1 - 3 ) \right| = \frac{1}{2} \left| - 16 - 12 - 4 \right| = 16$ (다른 풀이) 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$는 각각 변 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{AC}$의 중점이므로 삼각형 $\mathrm{APQ}$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 닮음비가 $1 : 2$인 닮은 도형이고, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{APQ}$의 넓이의 $4$배이다.

삼각형 $\mathrm{APQ}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \left| 4 ( 2 - 4 ) + 1 ( 4 - 1 ) + 3 ( 1 - 2 ) \right| = \frac{1}{2} \left| - 8 + 3 - 3 \right| = 4$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $4 \times 4 = 16$