두 원의 공통현의 길이 구하기

$x ^{2} + y ^{2} = 16$에서 $x ^{2} + y ^{2} - 6 x - 8 y + 16 = 0$을 빼면 $6 x + 8 y - 32 = 0$, 곧 $3 x + 4 y = 16$이므로 (가)는 $16$ 원점 $\mathrm{O}$와 직선 $3 x + 4 y - 16 = 0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}} = \frac{\left| - 16 \right|}{\sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}}} = \frac{16}{5}$이므로 (나)는 $\displaystyle \frac{16}{5}$ 직각삼각형 $\mathrm{OHA}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} ^{2} = \overline{\mathrm{OA}} ^{2} - \overline{\mathrm{OH}} ^{2} = 16 - \frac{256}{25} = \frac{144}{25}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} = \frac{12}{5}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \mathit{2} \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$이므로 (다)는 $\displaystyle \frac{24}{5}$ (검산) 원 $C _{2}$의 중심 $( 3 , 4 )$와 직선 $3 x + 4 y = 16$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| 9 + 16 - 16 \right|}{5} = \frac{9}{5}$이고 반지름의 길이는 $3$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \mathit{2} \sqrt{9 - \frac{81}{25}} = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$로 같다. 따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 수의 합은 $\displaystyle 16 + \frac{16}{5} + \frac{24}{5} = 24$