두 축에 대한 거리의 합의 최솟값으로 점 찾기

$a > 0$, $b > 0$이므로 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 $x$축에 대하여 같은 쪽에 있고, $y$축에 대하여도 같은 쪽에 있다. 점 $\mathrm{A}$의 $x$축에 대한 대칭점은 $\mathrm{A}' ( 1 , - 2 )$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}}$의 최솟값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B}$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B} ^{2} = ( a - 1 ) ^{2} + ( b + 2 ) ^{2} = 100$ …… ㉠ 점 $\mathrm{A}$의 $y$축에 대한 대칭점은 $\mathrm{A}'' ( - 1 , 2 )$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}} + \overline{\mathrm{BQ}}$의 최솟값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}'' B}$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{A}'' B} ^{2} = ( a + 1 ) ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} = 80$ …… ㉡ ㉠$-$㉡을 하면 $- 4 a + 8 b = 20$, 즉 $a = 2 b - 5$ 이것을 ㉡에 대입하면 $( 2 b - 4 ) ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} = 80$, $5 ( b - 2 ) ^{2} = 80$, $( b - 2 ) ^{2} = 16$ $b > 0$이므로 $b = 6$, $a = 7$ 실제로 $\mathrm{A}' ( 1 , - 2 )$, $\mathrm{B} ( 7 , 6 )$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B} = \sqrt{36 + 64} = 10$이고, $\mathrm{A}'' ( - 1 , 2 )$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}'' B} = \sqrt{64 + 16} = 4 \sqrt{5}$이다. 따라서 $a + b = 13$이다.