고난도 킬러 문제 모음
킬러 문제 수준(22·30번 수준)의 문제입니다. 아래에서 과목·단원과 구분으로 더 좁혀 볼 수 있습니다.
원소를 3배한 약수 집합과 합집합의 합
약수의 집합과 그 원소를 3배한 집합의 교집합·합집합의 원소의 합으로 자연수를 역추적한다.
#집합 #약수의 집합 #배수 #원소의 합
약수의 합이 24인 자연수 모두 찾기
양의 약수의 집합의 모든 원소의 합이 24가 되는 자연수를 모두 찾아 더한다.
#집합 #약수의 집합 #원소의 합 #경우 나누기
교집합·합집합의 원소 개수로 두 배수 찾기
100 이하의 자연수에서 두 배수 집합의 교집합의 원소가 4개, 합집합의 원소가 41개일 때 두 수의 곱을 구하는 문제이다.
#배수의 집합 #합집합의 원소의 개수 #최소공배수
교집합과 포함 조건을 만족시키는 배수 집합 쌍
두 배수 집합의 교집합이 36의 배수의 집합이고 합집합이 3의 배수의 집합에 포함되는 순서쌍 (a, b)의 개수를 구하는 문제이다.
#배수의 집합 #최소공배수 #경우 나누기
대칭차집합 연산의 성질 세기
A∗B=(A−B)∪(B−A) 로 정의한 연산에 대하여 소거·분배에 관한 네 성질 중 항상 옳은 것의 개수를 구하는 문제이다.
#대칭차집합 #새로 정의한 연산 #집합의 연산 성질
교집합·합집합이 같으면 두 집합이 같은가
다른 집합 X와의 교집합·합집합·차집합이 같다는 조건에서 A=B 를 결론지을 수 있는지 판정하는 문제이다.
#집합의 연산 성질 #반례 #집합의 상등
두 구간의 포함 관계를 만족시키는 순서쌍
절댓값 부등식과 이차부등식으로 주어진 두 구간 사이의 포함 관계를 만족시키는 자연수 순서쌍의 개수를 구한다.
#집합 #포함 관계 #미정계수 #부등식 #경우의 수
계수가 뒤바뀐 두 이차방정식의 포함 관계
계수가 서로 바뀐 두 이차방정식의 해집합 사이에 포함 관계가 있을 때 공통 원소를 찾아 계수를 결정한다.
#집합 #포함 관계 #미정계수 #이차방정식 #공통근
두 원소의 합의 집합에서 원래 집합 찾기
네 자연수로 이루어진 집합에서 서로 다른 두 원소의 합 전체의 집합이 주어졌을 때 원래 집합을 찾아 제곱의 합을 구하는 문제이다.
#서로 같은 집합 #원소의 대응 #자연수 조건
f(X)=X 인 부분집합의 개수
3x를 10으로 나눈 나머지로 정의된 함수에 대하여 f(X)=X 인 공집합이 아닌 부분집합 X의 개수를 구하는 문제이다.
#서로 같은 집합 #함수의 상 #순환 구조
원소의 합의 차가 21의 배수인 진부분집합 쌍
2의 거듭제곱으로 이루어진 집합에서 X⊂Y이고 원소의 합의 차가 21의 배수인 순서쌍 (X, Y)의 개수를 구하는 문제이다.
#진부분집합 #원소의 합 #이진법
진부분집합 사슬을 이루는 순서쌍의 개수
A가 B의 진부분집합, B가 U의 진부분집합이 되는 순서쌍 (A, B)의 개수를 원소별 자리 배정으로 세는 문제이다.
#진부분집합 #순서쌍의 개수 #포함배제
원점 대칭인 그래프의 이동에 대한 보기 판단
꺾은선 그래프가 원점에 대하여 대칭임을 읽어 이동한 그래프의 관계를 밝히고, 평행이동한 그래프와의 교점 개수를 기울기 비교로 판단한다.
#도형의 이동 #원점 대칭 #평행이동 #그래프 해석 #보기 판단
꺾인 도로 위 정류장의 위치
ㄱ자로 꺾인 도로 위 정류장의 최적 위치가 어느 쪽 도로에 놓이는지를 두 경우의 최솟값 비교로 판단한다.
#대칭이동 #최단거리 #실생활 #경우 나누기
네 벽에 튕겨 돌아오는 최단 경로
직사각형 당구대의 네 벽에 각각 한 번씩 튕겨 제자리로 돌아오는 공의 경로 길이의 최솟값을 구한다.
#대칭이동 #최단거리 #실생활 #당구
규칙 이동이 순환에 들어간 뒤의 주기
원점 대칭과 평행이동을 조건에 따라 적용하는 규칙에서 점이 몇 번 이동 뒤 여섯 점을 되풀이함을 찾아 같은 점이 되는 번호를 센다.
#도형의 이동 #원점 대칭 #평행이동 #이동의 주기
규칙 이동이 멈추는 점이 정해진 출발점의 개수
직선 대칭과 평행이동을 합친 규칙을 두 번 하면 두 좌표가 1씩 줄어듦을 알아내고, 정해진 점에서 멈추는 출발점을 경우를 나누어 센다.
#도형의 이동 #대칭이동 #평행이동 #이동의 규칙
두 원이 접하게 하는 점의 개수 조건
두 원이 접하는 조건을 중심 사이의 거리로 바꾸고, 그 거리를 갖는 점이 원 위에 몇 개 있는지 세어 반지름을 정한다.
#두 원의 위치 관계 #외접 #내접 #경우 나누기
두 공통접선의 길이와 넓이의 합으로 중심거리 구하기
공통외접선·공통내접선의 길이를 중심거리와 반지름으로 나타내어 두 반지름의 곱을 얻고 중심거리를 구한다.
#공통외접선 #공통내접선 #두 원의 위치 관계 #곱셈 공식
5와 7의 덧셈으로 닫힌 집합의 원소 개수
5와 7을 원소로 갖고 덧셈에 닫혀 있는 가장 작은 50 이하 자연수 집합의 원소의 개수를 구한다.
#연산에 닫혀 있는 집합 #덧셈 #최소 집합 #원소의 개수
차의 절댓값에 닫힌 집합의 원소 합
서로 다른 두 원소의 차가 다시 원소가 되는 40 이하 자연수 집합이 24를 원소로 갖고 원소가 6개일 때, 원소의 합의 최댓값을 구한다.
#연산에 닫혀 있는 집합 #차의 절댓값 #약수 #최댓값
두 점의 대칭점이 모두 x축 위에 있을 때
두 점을 어떤 직선에 대칭이동하면 모두 x축 위로 가는 조건에서 대칭점의 좌표로 가능한 값을 모두 찾는다.
#대칭이동 #직선에 대한 대칭 #각의 이등분선 #경우 나누기
두 직선 위를 움직이는 삼각형 둘레의 최솟값
한 점을 두 직선에 각각 대칭이동하여 삼각형의 둘레가 한 선분의 길이로 바뀜을 이용한다.
#대칭이동 #직선에 대한 대칭 #둘레의 최솟값 #삼각부등식
점대칭이동한 원이 다른 원과 만나게 하는 점의 영역
원을 점 P 에 대하여 대칭이동한 원이 다른 원과 만나도록 하는 점 P 가 나타내는 영역의 넓이를 구한다.
#대칭이동 #점에 대한 대칭 #두 원의 위치관계 #영역의 넓이
점대칭이동한 점이 다시 원 위에 있게 하는 직선의 조건
원 위의 점을 직선 위의 점에 대하여 대칭이동한 점이 다시 원 위에 있을 수 있도록 하는 직선의 조건에서 정수의 개수를 구한다.
#대칭이동 #점에 대한 대칭 #두 원의 위치관계 #원과 직선의 위치관계
포물선과 y=x 대칭이동한 도형 위의 두 점 사이 거리의 최솟값
포물선 위의 점과 그 포물선을 직선 y=x 에 대하여 대칭이동한 도형 위의 점 사이의 거리의 최솟값을 구한다.
#대칭이동 #직선 y=x 대칭 #포물선 #거리의 최솟값
포물선과 y=x 대칭이동한 도형이 네 점에서 만날 조건
포물선과 그 포물선을 직선 y=x 에 대하여 대칭이동한 도형이 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 정수의 최댓값을 구한다.
#대칭이동 #직선 y=x 대칭 #포물선 #교점의 개수
대칭이동한 두 점 사이의 거리가 자연수인 경우
원 위의 점을 x축, y축에 대하여 대칭이동한 두 점 사이의 거리가 자연수가 되는 점의 개수를 센다.
#대칭이동 #x축 대칭 #y축 대칭 #두 원의 위치관계
대칭이동한 네 직선으로 둘러싸인 마름모 안의 격자점
직선과 그 직선을 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동한 직선으로 둘러싸인 마름모 안의 좌표가 정수인 점의 개수를 센다.
#대칭이동 #축 대칭 #원점 대칭 #격자점
평행이동한 직선이 원에서 만드는 삼각형의 넓이 최대
직선을 y축 방향으로 평행이동한 직선이 원과 만나는 두 점과 원점이 만드는 삼각형의 넓이가 최대일 때의 이동량을 구한다.
#평행이동 #직선의 평행이동 #삼각형의 넓이 #원과 직선
평행이동한 두 원의 공통현과 이동량
원을 평행이동한 원과 처음 원의 공통현의 길이와 기울기에서 평행이동한 양을 역추적한다.
#평행이동 #원의 평행이동 #공통현 #두 원의 위치관계
두 교점과 두 중심을 지나는 원
네 점을 지나는 원을 두 원의 교점을 지나는 원의 꼴로 두고 두 중심을 대입하여 넓이를 구한다.
#두 원의 교점을 지나는 원 #네 점을 지나는 원 #원의 넓이
교점을 지나는 원과 x축의 교점의 x좌표
교점을 지나는 원의 방정식에 y=0을 대입하고 근과 계수의 관계를 써서 상수에 관계없이 일정한 값을 구한다.
#두 원의 교점을 지나는 원 #근과 계수의 관계 #x축과의 교점
세 점을 원점이 중심인 원 위로 옮기는 평행이동
세 점을 같은 평행이동으로 옮겨 모두 원점이 중심인 원 위에 놓이게 하는 이동량과 원의 반지름을 구한다.
#점의 평행이동 #세 점에서 같은 거리 #원의 방정식
길이가 일정한 선분을 거치는 최단 경로
x축 위의 길이가 일정한 선분을 거쳐 두 점을 잇는 경로의 최솟값을 한 점을 평행이동하고 대칭점을 잡아 구한다.
#점의 평행이동 #최단 경로 #대칭
두 좌표축과 네 점에서 만나는 원의 계수 구하기
원이 두 좌표축과 만나는 점의 좌표를 이차방정식의 근으로 보고 근과 계수의 관계로 방정식의 계수와 남은 교점을 구하는 과정의 빈칸을 채운다.
#원의 방정식 #근과 계수의 관계 #증명 빈칸 #좌표축과의 교점
두 접점을 지나는 직선의 방정식 증명
원 밖의 점에서 그은 두 접선의 접점이 한 직선 위에 있음을 접선의 방정식으로 보이고 두 접점 사이의 거리를 구하는 과정의 빈칸을 채운다.
#원의 접선 #접점을 지나는 직선 #증명 빈칸 #현의 길이
원 밖의 점을 지나는 직선이 만드는 현의 중점 판정
원 밖의 한 점을 지나는 직선이 원과 두 점에서 만날 때 기울기의 범위, 현의 중점이 그리는 도형, 거리의 곱을 판정한다.
#원과 직선 #현의 중점의 자취 #참거짓 #호의 길이
원 밖의 점을 지나는 직선과 두 교점 판정
원 밖의 점을 지나는 직선이 원과 만나는 두 점까지의 거리의 곱이 일정함을 확인하고 현의 길이와 거리를 판정한다.
#원과 직선 #현의 중점 #참거짓 #일정한 값
정수 좌표의 벤치 두 개를 지나는 직선 산책로
원 위의 정수 좌표인 점을 모두 찾고, 기울기가 2인 직선이 그 중 두 점을 지나는 경우를 구조적으로 센다.
#원 위의 격자점 #직선의 기울기 #실생활
해안선을 거쳐 섬까지 가는 최단 거리
해안선에 대한 대칭점을 잡아 꺾인 경로를 곧게 펴고, 원 위의 점까지의 최단 거리를 중심까지의 거리에서 반지름을 빼어 구한다.
#원 위의 점까지의 최단 거리 #대칭이동 #실생활
공통현을 밑변으로 하는 두 삼각형의 넓이로 원 정하기
두 중심이 공통현의 양쪽에 있어 두 삼각형의 높이의 합이 중심 사이의 거리임을 이용해 현의 길이를 얻고 상수를 결정한다.
#공통현 #삼각형의 넓이 #중심선
공통현이 항상 지나는 점과 현의 길이의 최솟값
매개변수에 관계없이 공통현이 지나는 정점을 찾고, 그 점을 지나는 현 중 가장 짧은 현을 구한다.
#공통현 #항등식 #현의 길이의 최솟값
접선의 길이가 최소일 때 두 접점과 이루는 삼각형
직선 위의 점에서 그은 접선의 길이가 최소인 자리를 찾고, 그때 생기는 정사각형에서 삼각형의 넓이를 구한다.
#접선의 길이 #최솟값 #정사각형
접선의 길이가 같은 점의 자취와 넓이 이등분
두 원에 그은 접선의 길이가 같은 점의 자취가 직선임을 밝히고, 그 직선이 다른 원의 중심을 지날 조건을 푼다.
#접선의 길이 #자취 #넓이의 이등분
접선이 만드는 삼각형의 넓이와 빗변의 최솟값
접선의 절편을 기울기로 나타내고 산술평균과 기하평균의 관계로 넓이와 빗변의 최솟값을 잇는다.
#기울기가 주어진 접선 #산술평균과 기하평균 #삼각형의 넓이
두 점을 지나는 평행한 접선으로 원 정하기
기울기가 같은 서로 다른 두 접선이 각각 두 점을 지날 때 기울기와 반지름을 역추적한다.
#기울기가 주어진 접선 #평행한 접선 #경우 나누기
원이 되는 정수 순서쌍의 개수
원이 될 조건을 두 정수에 대한 부등식으로 만들고 좌표평면의 원 내부 격자점으로 해석하여 센다.
#원이 될 조건 #격자점 #정수 순서쌍
모든 t에 대하여 원이 되는 정수 조건
매개변수 t가 든 표준형의 우변을 t에 대한 이차식으로 보고 최솟값이 양수일 조건을 찾는다.
#원이 될 조건 #이차식의 최솟값 #매개변수
외접원의 중심이 정수 좌표가 되는 조건
세 점을 지나는 원의 중심의 y좌표를 문자로 나타내고 그 값이 정수가 되는 자연수를 모두 찾는다.
#세 점을 지나는 원 #외접원의 중심 #정수 조건 #약수
움직이는 점을 지나는 외접원의 넓이 최소
두 정점과 직선 위를 움직이는 점을 지나는 원의 넓이가 최소가 되는 경우를 찾는다.
#세 점을 지나는 원 #외접원 #넓이의 최소 #지름
넓이가 최소인 원과 삼각형의 넓이 최대
문자를 품은 원이 항상 지나는 두 점을 찾고, 넓이가 최소인 원에서 두 점과 원 위의 점이 이루는 삼각형의 넓이의 최댓값을 구한다.
#원의 방정식 #정점 #반지름의 최소 #삼각형의 넓이
원 위의 정수 좌표 점의 개수
일반형을 표준형으로 고쳐 원 위의 x좌표, y좌표가 모두 정수인 점의 개수를 두 제곱수의 합으로 구조화한다.
#원의 방정식 #일반형 #정수점 #제곱수의 합
두 선분의 길이의 합의 최솟값 빈칸
x축 위의 점에 대하여 두 점까지의 거리의 합이 최소가 되는 점을 대칭점과 직선의 방정식으로 구하는 과정의 빈칸을 채운다.
#직선의 방정식 #대칭이동 #거리의 합의 최솟값 #증명 빈칸
한 점을 지나는 직선과 삼각형의 넓이 판정
한 점을 지나 두 축과 만나는 직선이 만드는 삼각형의 넓이가 주어진 값이 되는 직선의 개수와 최솟값을 판정한다.
#직선의 방정식 #절편 #삼각형의 넓이 #최솟값
수직인 두 직선다발의 교점 판정
문자를 품은 서로 수직인 두 직선의 교점이 어느 자리에 놓이고 한 점과의 거리가 일정함을 판정한다.
#직선의 방정식 #수직 조건 #정점 #직각삼각형
정사각형 둘레 위의 점과 넓이의 최대·최소
넓이가 점과 직선 사이의 거리에 정비례함을 이용하여 정사각형의 꼭짓점에서 최대·최소를 찾는다.
#점과 직선 사이의 거리 #삼각형의 넓이 #최대·최소 #정사각형
넓이가 일정한 점 중 격자점의 개수
넓이 조건을 점과 직선 사이의 거리 조건으로 바꾸어 점이 놓이는 두 평행선을 찾고 정수점을 센다.
#점과 직선 사이의 거리 #삼각형의 넓이 #격자점 #평행한 직선
두 평행선을 수직으로 건너는 최단 경로
두 평행선 사이의 거리를 구하고 평행이동으로 세 선분의 길이의 합의 최솟값을 구한다.
#평행한 두 직선 사이의 거리 #평행이동 #최단 경로 #삼각부등식
정점을 지나는 두 평행선 사이 거리의 최댓값
k에 관계없이 평행한 두 직선이 각각 지나는 정점을 찾아 두 직선 사이의 거리의 최댓값을 구한다.
#평행한 두 직선 사이의 거리 #정점을 지나는 직선 #거리의 최댓값