공통현을 밑변으로 하는 두 삼각형의 넓이로 원 정하기

두 삼각형이 밑변 $\mathrm{AB}$ 를 공유하고, 중심선 $\mathrm{OD}$ 가 $\mathrm{AB}$ 와 수직임을 먼저 본다. 두 원의 중심을 잇는 선분 $\mathrm{OD}$ 는 공통현 $\mathrm{AB}$ 를 수직이등분하므로, 두 선분의 교점을 $\mathrm{H}$ 라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{DH}}$ 는 각각 두 삼각형 $\mathrm{OAB}$, $\mathrm{DAB}$ 의 높이이다. 두 중심이 직선 $\mathrm{AB}$ 에 대하여 서로 반대쪽에 있으므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}} + \overline{\mathrm{DH}} = \overline{\mathrm{OD}} = \sqrt{6 ^{2} + 8 ^{2}} = 10$ 두 삼각형의 넓이의 합이 $30$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{OH}} + \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{DH}} = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times 10 = 30$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 6$ 원 $C _{1}$ 의 반지름의 길이가 $5$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}} = \sqrt{25 - 3 ^{2}} = 4$ 한편 $( x - 6 ) ^{2} + ( y - 8 ) ^{2} = k$ 를 전개하면 $x ^{2} + y ^{2} - 12 x - 16 y + 100 - k = 0$ 이므로 두 원의 방정식을 변끼리 빼면 직선 $\mathrm{AB}$ 의 방정식은 $12 x + 16 y - 125 + k = 0$ 원점과 이 직선 사이의 거리가 $4$ 이므로 $\displaystyle \frac{\left| k - 125 \right|}{\sqrt{12 ^{2} + 16 ^{2}}} = 4$, $\left| k - 125 \right| = 80$ $k = 45$ 또는 $k = 205$ $k = 205$ 이면 원점과 점 $\mathrm{D}$ 에서 $12 x + 16 y - 125 + k$ 의 값이 각각 $80$, $280$ 으로 같은 부호이므로 두 중심이 직선 $\mathrm{AB}$ 에 대하여 같은 쪽에 있어 조건에 맞지 않는다. $k = 45$ 이면 두 값이 각각 $- 80$, $120$ 으로 부호가 다르므로 조건에 맞는다. 따라서 $k = 45$