대칭차집합 연산의 성질 세기

실마리: $x \in A * B$는 「$x$가 $A$, $B$ 중 꼭 하나에만 속한다」는 뜻이다. 또 $A * B = B * A$이다. ㄱ. $U$의 원소 $x$에 대하여 $x \in B$이면 $x \in A * B$인 것은 $x \notin A$일 때이므로, $x$가 $A * B$와 $B$ 중 꼭 하나에만 속하는 것은 $x \notin A * B$, 즉 $x \in A$일 때이다. $x \notin B$이면 $x \in A * B$인 것은 $x \in A$일 때이므로, $x$가 $A * B$와 $B$ 중 꼭 하나에만 속하는 것은 $x \in A * B$, 즉 $x \in A$일 때이다. 어느 경우에도 $x \in ( A * B ) * B$와 $x \in A$는 같은 뜻이므로 $( A * B ) * B = A$ (참) ㄴ. $A * B = A * C$의 양변에 $* A$를 하면 ㄱ과 $A * B = B * A$에 의하여 $( A * B ) * A = ( B * A ) * A = B$, $( A * C ) * A = ( C * A ) * A = C$ 이므로 $B = C$ (참) ㄷ. $x \notin C$이면 $x$는 양변의 어느 집합에도 속하지 않는다. $x \in C$이면 $x \in A \cap C$와 $x \in A$, $x \in B \cap C$와 $x \in B$가 각각 같은 뜻이므로, $x$가 $A \cap C$, $B \cap C$ 중 꼭 하나에만 속하는 것과 $x$가 $A$, $B$ 중 꼭 하나에만 속하는 것이 같다. 따라서 $( A * B ) \cap C = ( A \cap C ) * ( B \cap C )$ (참) ㄹ. $U = \left\{ 1 , 2 \right\}$, $A = \left\{ 1 , 2 \right\}$, $B = \left\{ 1 \right\}$, $C = \left\{ 2 \right\}$이면 $B \cap C = \emptyset$이므로 $A * ( B \cap C ) = A = \left\{ 1 , 2 \right\}$ $A * B = \left\{ 2 \right\}$, $A * C = \left\{ 1 \right\}$이므로 $( A * B ) \cap ( A * C ) = \emptyset$ (거짓) 따라서 항상 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 $3$개이다.