점대칭이동한 원이 다른 원과 만나게 하는 점의 영역

실마리: 원 $\mathrm{C} _{1}$을 점 $\mathrm{P}$에 대하여 대칭이동한 원의 중심은 원점 $\mathrm{O}$를 점 $\mathrm{P}$에 대하여 대칭이동한 점이다. 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( a , b )$라 하면 원 $\mathrm{C} _{1}$의 중심 $\mathrm{O} ( 0 , 0 )$을 점 $\mathrm{P}$에 대하여 대칭이동한 점은 $\mathrm{Q} ( 2 a , 2 b )$이므로 대칭이동한 원은 $( x - 2 a ) ^{2} + ( y - 2 b ) ^{2} = 1$ 원 $\mathrm{C} _{2}$의 중심을 $\mathrm{A} ( 8 , 6 )$이라 하고 $\displaystyle d = \overline{\mathrm{AQ}}$라 하면, 두 원의 반지름의 길이가 각각 $1$, $3$이므로 두 원이 만나는 조건은 $3 - 1 \leq d \leq 3 + 1$, 즉 $\displaystyle 2 \leq \overline{\mathrm{AQ}} \leq 4$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}} = \sqrt{( 2 a - 8 ) ^{2} + ( 2 b - 6 ) ^{2}} = 2 \sqrt{( a - 4 ) ^{2} + ( b - 3 ) ^{2}}$ 이므로 점 $\mathrm{M} ( 4 , 3 )$에 대하여 $\displaystyle 1 \leq \overline{\mathrm{MP}} \leq 2$

즉 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 영역은 중심이 $\mathrm{M} ( 4 , 3 )$이고 반지름의 길이가 각각 $1$, $2$인 두 원 사이의 부분(경계 포함)이다. 그 넓이는 $\pi \times 2 ^{2} - \pi \times 1 ^{2} = 3 \pi$ 따라서 $k = 3$