원 밖의 점을 지나는 직선과 두 교점 판정

실마리: 원의 중심 $\mathrm{C}$에서 현 $\mathrm{PQ}$에 내린 수선의 발 $\mathrm{M}$은 현의 중점이다. 원 $C$의 중심은 $\mathrm{C} \mathit{(} 4 , 3 )$, 반지름의 길이는 $3$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}} = \sqrt{4 ^{2} + 3 ^{2}} = 5$ ㄱ. 원점 $\mathrm{O}$는 원의 외부에 있으므로 원 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} \geq \overline{\mathrm{OC}} - 3 = 2$이다. 등호는 점 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{OC}$ 위에 있을 때 성립하므로 최솟값은 $2$이다. (참) ㄴ. 점 $\mathrm{C}$에서 직선 $\mathrm{PQ}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\mathrm{M}$은 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{MP}} = \overline{\mathrm{MQ}} = \mathit{d}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = \overline{\mathrm{OM}} - \mathit{d}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}} = \overline{\mathrm{OM}} + \mathit{d}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} \times \overline{\mathrm{OQ}} = \overline{\mathrm{OM}} ^{2} - d ^{2}$ 직각삼각형 $\mathrm{OMC}$, $\mathrm{PMC}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OM}} ^{2} = \overline{\mathrm{OC}} ^{2} - \overline{\mathrm{CM}} ^{2}$, $\displaystyle d ^{2} = \overline{\mathrm{CP}} ^{2} - \overline{\mathrm{CM}} ^{2}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} \times \overline{\mathrm{OQ}} = \overline{\mathrm{OC}} ^{2} - \overline{\mathrm{CP}} ^{2} = 25 - 9 = 16$ 곧 직선에 관계없이 항상 $16$이다. (참) ㄷ. $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \mathit{4}$이면 $d = 2$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{CM}} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{OM}} = \sqrt{25 - 5} = 2 \sqrt{5}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = \overline{\mathrm{OM}} - \mathit{d} = 2 \sqrt{5} - 2$ (거짓) (검산: $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}} = \mathit{2} \sqrt{5} + 2$이고 $\displaystyle ( 2 \sqrt{5} - 2 ) ( 2 \sqrt{5} + 2 ) = 20 - 4 = 16$으로 ㄴ과 맞다.) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③