네 벽에 튕겨 돌아오는 최단 경로

실마리: 벽에 튕기는 경로는 그 벽에 대하여 대칭이동하면 곧게 펴진다. 네 벽에 차례로 대칭이동한 점과 점 $\mathrm{A}$ 사이의 거리가 경로 길이의 최솟값이다. 공이 네 벽 $y = 8$, $x = 6$, $y = 0$, $x = 0$에 이 순서로 부딪히는 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$라 하자. 점 $\mathrm{A}$를 직선 $x = 0$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A} _{1}$, 점 $\mathrm{A} _{1}$ 을 직선 $y = 0$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A} _{2}$, 점 $\mathrm{A} _{2}$ 를 직선 $x = 6$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A} _{3}$, 점 $\mathrm{A} _{3}$ 을 직선 $y = 8$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A} _{4}$ 라 하면 $\mathrm{A} _{1} ( - 2 , 3 )$, $\mathrm{A} _{2} ( - 2 , - 3 )$, $\mathrm{A} _{3} ( 14 , - 3 )$, $\mathrm{A} _{4} ( 14 , 19 )$ $\displaystyle \overline{\mathrm{SA}} = \overline{\mathrm{SA} _{1}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{RS}} + \overline{\mathrm{SA}} \geq \overline{\mathrm{RA} _{1}} = \overline{\mathrm{RA} _{2}}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}} + \overline{\mathrm{RA} _{2}} \geq \overline{\mathrm{QA} _{2}} = \overline{\mathrm{QA} _{3}}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QA} _{3}} \geq \overline{\mathrm{PA} _{3}} = \overline{\mathrm{PA} _{4}}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PA} _{4}} \geq \overline{\mathrm{AA} _{4}}$ 이므로 공이 움직인 거리는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QR}} + \overline{\mathrm{RS}} + \overline{\mathrm{SA}} \geq \overline{\mathrm{AA} _{4}} = \sqrt{12 ^{2} + 16 ^{2}} = 20$ 등호는 네 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$가 모두 선분 $\mathrm{AA} _{4}$ 를 차례로 펴 놓은 자리에 있을 때 성립하고, 실제로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{23}{4} , 8 \right)$, $\displaystyle \mathrm{Q} \left( 6 , \frac{23}{3} \right)$, $\displaystyle \mathrm{R} \left( \frac{1}{4} , 0 \right)$, $\displaystyle \mathrm{S} \left( 0 , \frac{1}{3} \right)$ 는 모두 꼭짓점이 아닌 벽 위의 점이다. 벽에 부딪히는 순서가 달라도 직선 $x = 0$, $x = 6$에 대한 두 대칭이동은 $x$좌표를 $12$만큼, 직선 $y = 0$, $y = 8$에 대한 두 대칭이동은 $y$좌표를 $16$만큼 옮기므로, 네 번 대칭이동한 점은 항상 점 $\mathrm{A}$에서 $x$축 방향으로 $\pm 12$, $y$축 방향으로 $\pm 16$만큼 떨어진 점이 되어 최솟값은 $20$보다 작아질 수 없다. 따라서 구하는 최솟값은 $20$