공통수학2원의 방정식AI킬러 문제 (22·30번 수준)

두 좌표축과 네 점에서 만나는 원의 계수 구하기

문제

다음은 그림과 같이 원 x2+y2+ax+by+c=0x ^{2} + y ^{2} + ax + by + c = 0이 xx축과 두 점 (2,0)( 2 , 0 ), (6,0)( 6 , 0 )에서 만나고 yy축과 두 점 (0,3)( 0 , 3 ), D(0,k)\mathrm{D} \mathit{(} 0 , k )에서 만날 때, 상수 kk의 값과 이 원의 중심의 좌표를 구하는 과정이다. (단, aa, bb, cc는 상수이고 k>3k > 3이다.)

원의 방정식에 y=0y = 0을 대입하면 x2+ax+c=0x ^{2} + ax + c = 0이고, 이 이차방정식의 두 근이 22, 66이므로 근과 계수의 관계에서 2+6=−a2 + 6 = - a, 2×6=c2 \times 6 = c 따라서 c=c = (가) 원의 방정식에 x=0x = 0을 대입하면 y2+by+c=0y ^{2} + by + c = 0이고, 이 이차방정식의 두 근이 33, kk이므로 3+k=−b3 + k = - b, 3k=c3 k = c 따라서 k=k = (나) 이때 a=−8a = - 8, b=−7b = - 7이므로 원의 중심의 좌표는 (4,( 4 , (다) ))이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 수의 합을 구하시오. [4점]

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해설

실마리: y=0y = 0, x=0x = 0을 대입한 두 이차방정식은 상수항이 모두 cc이므로 xx절편의 곱과 yy절편의 곱이 같다. x2+ax+c=0x ^{2} + ax + c = 0의 두 근이 22, 66이므로 c=2×6=12c = 2 \times 6 = 12, 곧 (가)는 1212 y2+by+c=0y ^{2} + by + c = 0의 두 근이 33, kk이므로 3k=c=123 k = c = 12에서 k=4k = 4, 곧 (나)는 44 a=−(2+6)=−8a = - ( 2 + 6 ) = - 8, b=−(3+4)=−7b = - ( 3 + 4 ) = - 7이므로 원의 방정식은 x2+y2−8x−7y+12=0x ^{2} + y ^{2} - 8 x - 7 y + 12 = 0, 곧 (x−4)2+(y−72)2=654\displaystyle ( x - 4 ) ^{2} + \left( y - \frac{7}{2} \right) ^{2} = \frac{65}{4} 따라서 중심의 좌표는 (4,72)\displaystyle \left( 4 , \frac{7}{2} \right)이고 (다)는 72\displaystyle \frac{7}{2} (검산) x=0x = 0, y=4y = 4를 대입하면 16−28+12=016 - 28 + 12 = 0이므로 원은 점 D(0,4)\mathrm{D} \mathit{(} 0 , 4 )를 지난다. 따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 수의 합은 12+4+72=392\displaystyle 12 + 4 + \frac{7}{2} = \frac{39}{2}

태그

#원의 방정식#근과 계수의 관계#증명 빈칸#좌표축과의 교점

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