교집합·합집합의 원소 개수로 두 배수 찾기

실마리: $a < b$이면 $100$ 이하의 $a$의 배수가 $b$의 배수보다 적지 않으므로 $n ( A _{a} ) \geq n ( A _{b} )$이다. $n ( A _{a} \cup A _{b} ) = n ( A _{a} ) + n ( A _{b} ) - n ( A _{a} \cap A _{b} )$이므로 $n ( A _{a} ) + n ( A _{b} ) = 41 + 4 = 45$ $n ( A _{a} ) \geq n ( A _{b} )$이므로 $2 n ( A _{a} ) \geq 45$, 즉 $n ( A _{a} ) \geq 23$ $a \geq 5$이면 $n ( A _{a} ) \leq 20$이므로 $a \leq 4$이고, $a = 1$이면 $n ( A _{1} ) = 100$이므로 $a = 2$, $3$, $4$ 중 하나이다. (i) $a = 2$: $n ( A _{2} ) = 50$이므로 $n ( A _{b} ) = - 5$가 되어 불가능 (ii) $a = 3$: $n ( A _{3} ) = 33$이므로 $n ( A _{b} ) = 12$ $100$ 이하의 $b$의 배수가 $12$개이려면 $12 b \leq 100 < 13 b$, 즉 $b = 8$ 이때 $A _{3} \cap A _{8} = A _{24}$이고 $100 = 24 \times 4 + 4$이므로 $n ( A _{3} \cap A _{8} ) = 4$로 조건에 맞는다. (iii) $a = 4$: $n ( A _{4} ) = 25$이므로 $n ( A _{b} ) = 20$ $20 b \leq 100 < 21 b$에서 $b = 5$이지만, $A _{4} \cap A _{5} = A _{20}$이고 $n ( A _{20} ) = 5 \ne 4$이므로 조건에 맞지 않는다. 그러므로 $a = 3$, $b = 8$이고 실제로 $n ( A _{3} \cup A _{8} ) = 33 + 12 - 4 = 41$이다. 따라서 $ab = 24$