접선이 만드는 삼각형의 넓이와 빗변의 최솟값

접선의 절편을 기울기 $m$ 으로 나타내고 넓이를 $m$ 의 식으로 만든 뒤, 넓이와 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$ 를 접선의 성질로 잇는다. 접선의 방정식을 $y = mx + k$ $( m < 0 )$ 이라 하면 원점과 이 직선 사이의 거리가 $r$ 이므로 $\displaystyle \frac{\left| k \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = r$, $k ^{2} = r ^{2} ( m ^{2} + 1 )$ $x$ 절편은 $\displaystyle - \frac{k}{m}$, $y$ 절편은 $k$ 이므로 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 넓이 $S$ 는 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times \left| - \frac{k}{m} \right| \times \left| k \right| = \frac{k ^{2}}{2 \left| m \right|} = \frac{r ^{2}}{2} \left( \left| m \right| + \frac{1}{\left| m \right|} \right)$ $\left| m \right| > 0$ 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서 $\displaystyle \left| m \right| + \frac{1}{\left| m \right|} \geq 2$ (등호는 $\left| m \right| = 1$ 일 때) $S \geq r ^{2}$ 이고 넓이의 최솟값이 $4$ 이므로 $r ^{2} = 4$, $r = 2$ 접점을 $\mathrm{P}$ 라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = r$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$ 와 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$ 가 수직이므로 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times r = \overline{\mathrm{AB}}$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = S \geq 4$ 이고, $\left| m \right| = 1$ 일 때 등호가 성립하므로 선분 $\mathrm{AB}$ 의 길이의 최솟값은 $4$ 이다.