넓이가 최소인 원과 삼각형의 넓이 최대

실마리: 주어진 식을 $k$에 대하여 정리하여 항상 지나는 두 점을 먼저 찾고, 중심과 반지름을 $k$의 식으로 나타낸다. $x ^{2} + y ^{2} + kx + ky - 2 k - 4 = 0$을 $k$에 대하여 정리하면 $k ( x + y - 2 ) + ( x ^{2} + y ^{2} - 4 ) = 0$ $k$의 값에 관계없이 성립하려면 $x + y = 2$, $x ^{2} + y ^{2} = 4$ $y = 2 - x$를 대입하면 $x ^{2} + ( 2 - x ) ^{2} = 4$에서 $2 x ^{2} - 4 x = 0$, 즉 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 이므로 두 점은 $\mathrm{A} ( 2 , 0 )$, $\mathrm{B} ( 0 , 2 )$이다. 원 $C _{k}$를 표준형으로 고치면 $\displaystyle \left( x + \frac{k}{2} \right) ^{2} + \left( y + \frac{k}{2} \right) ^{2} = \frac{k ^{2}}{2} + 2 k + 4 = \frac{1}{2} ( k + 2 ) ^{2} + 2$ 이므로 반지름의 제곱은 $k = - 2$일 때 최소이고 최솟값은 $2$이다. 이때 원은 $( x - 1 ) ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} = 2$이고 중심 $( 1 , 1 )$은 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이므로 선분 $\mathrm{AB}$는 이 원의 지름이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{2 ^{2} + 2 ^{2}} = 2 \sqrt{2}$이고, 점 $\mathrm{P}$와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리는 반지름의 길이 $\displaystyle \sqrt{2}$를 넘을 수 없다. 따라서 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ (다른 풀이) 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 지나는 원의 반지름은 $\displaystyle \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{2}$보다 작을 수 없고, 등호는 선분 $\mathrm{AB}$가 지름일 때이므로 넓이가 최소인 원은 중심 $( 1 , 1 )$, 반지름 $\displaystyle \sqrt{2}$인 원이다. 이는 $k = - 2$일 때와 같다.